如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连结OE,OF求证:(1)OE=OF;(2)OE⊥OF

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:20:06
如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连结OE,OF求证:(1)OE=OF;(2)OE⊥OF如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O

如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连结OE,OF求证:(1)OE=OF;(2)OE⊥OF
如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连结OE,OF
求证:(1)OE=OF;(2)OE⊥OF

如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连结OE,OF求证:(1)OE=OF;(2)OE⊥OF
证明:延长EF交CD于M,
因为PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,
所以四边形DFPM是正方形
所以DF=DM,
同理四边形AEMD是矩形
所以AE=DM
所以AE=DF
在正方形ABCD中,∠EAO=∠FDO=45°,OA=OD
所以△AEO≌△DFO(SAS)
所以OE=OF
∠AOE=∠DOF,
又正方形ABCD中,∠DOF+∠AOF=90°
所以∠AOF+∠AOE=90°
所以∠EOF=90°
即OE⊥OF

由题意得,四边形AEFP是长方形,三角形FPD是等腰直角三角形,所以AE=FD,AO=DO,角EAO=FDO=45度。所以三角形AEO全等开三角形DFO,所EO=FO;角DOF=AOE
角DOF+FOA=90 角AOE+FOA=90 所以OE⊥OF