如图,已知△ABC中,PG为BC的⊥平分线,∠PBC=2\1∠A,BP的延长线交AC于点D,BP的延长线交AC于点DCP的延长线交AB于点E,求证BE=CD

如图,已知△ABC中,PG为BC的⊥平分线,∠PBC=2\1∠A,BP的延长线交AC于点D,BP的延长线交AC于点DCP的延长线交AB于点E,求证BE=CD
如图,已知△ABC中,PG为BC的⊥平分线,∠PBC=2\1∠A,BP的延长线交AC于点D,BP的延长线交AC于点D
CP的延长线交AB于点E,求证BE=CD

如图,已知△ABC中,PG为BC的⊥平分线,∠PBC=2\1∠A,BP的延长线交AC于点D,BP的延长线交AC于点DCP的延长线交AB于点E,求证BE=CD
证：
PG为BC的⊥平分线,：∠PCB＝∠PBC=2\1∠A. 所以：∠CPB=180－∠A
又：∠DPE＝∠CPB,故∠DPE=180－∠A, 可知A、E、P、D四点共圆.
由正弦定理分别有：BE:sin∠EPB=BP:sin∠BEP,
CD:sin∠DPC=CP:sin∠CDP.
对比两式：sin∠EPB＝sin∠DPC （对顶角）
BP＝CP（PG为BC的⊥平分线）
sin∠BEP＝sin∠CDP（∠BEP＝∠ADP＝180－∠CDP,因为A、E、P、D四点共圆）
所以 BE＝CD

证明：在PD上截取一段PF=PE，连接CF
设∠A=2x，∠EBP=∠1，∠FCP=∠2
因为PG是BC的垂直平分线，所以：PB=PC
所以，∠PBC=∠PCB=∠A/2=x
所以，∠FPC=∠PBC+∠PCB=x+x=2x
又，在△PBE和△PCF中：
PB=PC
∠EPB=∠FPC
PE=PF
所以，△P...

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证明：在PD上截取一段PF=PE，连接CF
设∠A=2x，∠EBP=∠1，∠FCP=∠2
因为PG是BC的垂直平分线，所以：PB=PC
所以，∠PBC=∠PCB=∠A/2=x
所以，∠FPC=∠PBC+∠PCB=x+x=2x
又，在△PBE和△PCF中：
PB=PC
∠EPB=∠FPC
PE=PF
所以，△PBE≌△PCF（SAS）
所以，∠1=∠2，且BE=CF
又，∠CFD=∠FPC+∠2=2x+∠2
∠CDF=∠A+∠1=2x+∠1
所以，∠CFD=∠CDF
即，CF=CD
所以，BE=CF=CD

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