证明:过椭圆x²/a²+y²/b²=1的中心作一直线与椭圆交于A,B两点,则当AB与x轴垂直时,AB的长度最短

证明:过椭圆x²/a²+y²/b²=1的中心作一直线与椭圆交于A,B两点,则当AB与x轴垂直时,AB的长度最短
证明:过椭圆x²/a²+y²/b²=1的中心作一直线与椭圆交于A,B两点,则当AB与x轴垂直时,AB的长度最短

证明:过椭圆x²/a²+y²/b²=1的中心作一直线与椭圆交于A,B两点,则当AB与x轴垂直时,AB的长度最短
证明：
∵ A,B关于原点对称.
∴ |AB|=2|OA|
设 A(x,y)
∴ x²/a²+y²/b²=1
∴ |OA|²=x²+y²
=x²+b²(1-x²/a²)
=(1-b²/a²)x²+b²
∵ 1-b²/a²>0
∴ x=0时,
|OA|²有最小值为b²
即|OA|的最小值为b,此时x=0
即 OA与x轴垂直.
∴ 当AB与x轴垂直时,AB的长度最短