是在三角形ABC的边AB和BC上分别取点D和F ,E 为线段DF的中点.求证 AD+FC小于或等于AE+EC谁告诉你F、D为中点了？

是在三角形ABC的边AB和BC上分别取点D和F ,E 为线段DF的中点.求证 AD+FC小于或等于AE+EC谁告诉你F、D为中点了？
是在三角形ABC的边AB和BC上分别取点D和F ,E 为线段DF的中点.求证 AD+FC小于或等于AE+EC
谁告诉你F、D为中点了？

是在三角形ABC的边AB和BC上分别取点D和F ,E 为线段DF的中点.求证 AD+FC小于或等于AE+EC谁告诉你F、D为中点了？
过F做FG‖AB,交AE延长线于G,AG交BC于H,连接CG
∵FG ‖AB,
E是DF中点,
∴EG=AE,FG=AD
即只需要证明EG+EC>=FG+FC
EG+EC=EH+HG+EC>HC+HG=FC+HF+HG(2楼老兄此处笔误,FG应改为HG)>FC+FG     
（两边之和大于第三边）
等号,当且仅当D,E,F与B点重合,此时AD=AE,FC=EC

过F做FG‖AB,交AE延长线于G,AG交BC于H,连接CG
∵FG ‖AB，
E是DF中点，
∴EG=AE,FG=AD
即只需要证明EG+EC>=FG+FC
EG+EC=EH+HG+EC>HC+HG=FC+HF+FG>FC+FG
（两边之和大于第三边）
等号，当且仅当D,E,F与B点重合，此时AD=AE,FC=EC

用极限的方法，假设df在b点位置，d在b而f再c，d在a而f在b，这三种AD+FC等于AE+EC ，其余情况，AD+FC小于AE+EC

如图。

延长BE至G，使BE=EG

易证三角形BED与三角形FEG全等

则BD=FG，BE=EG

BD+CF=FG+CF<FC+FH+HG

=CH+GH<CE+EH+HG

=CE+EG

即BD+CF<BE+CE

∵D、F为中点，
∴AD=DB,BF=FC,且DF=AC/2,
∴AD+FC=BD+BF,在△BDF中，BD+BF≥DF，
在△AEC中，AE+EC≥AC，
又∵DF=AC/2，DF＜AC，
∴AD+FC≤AE+EC，

如图，延长CE到G使得GE=EC,GE交AB于点M；

∵GE=EC,DE=EF,∠DEG=∠FEC；

∴∆DEG≌∆FEC；FC=DG,GE=EC;

∴AD+FC=AD+DG<AD+GM+DM=AM+GM<(ME+AE)+GM=GE+AE=EC+AE;

即：AD+FC<AE+EC

denghuigaosuni

AD+FC=(AB+BC)-(BD+BF)
AE+EC＜AB+BC (when d,c aren`t stick on point B,C)
AE+EC=AB+BC (when d,c stick on point B,C)
1.When angleADE≥90, AE>AD.
When angleEFC≥90, EC>FC.
so AE+EC>AD+FC
2...
3...follow the mode..

因为是在边AB和BC上分别取点D和F，所以D点跟F点就在这两段上活动。
有四种最大的可能。
本来我画了三幅图，可惜我是新注册的，不能插入图片。
第一种：D点和F点都跟B点重合了，那么E点就相当于是B点了，所以AD+FC等于AE+EC
第二种：两点分别跟ABC其中两点重合，那么AD+FC等于AE+EC
第三种：其中一点跟ABC某一点重合，那么AD+FC小于AE...

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因为是在边AB和BC上分别取点D和F，所以D点跟F点就在这两段上活动。
有四种最大的可能。
本来我画了三幅图，可惜我是新注册的，不能插入图片。
第一种：D点和F点都跟B点重合了，那么E点就相当于是B点了，所以AD+FC等于AE+EC
第二种：两点分别跟ABC其中两点重合，那么AD+FC等于AE+EC
第三种：其中一点跟ABC某一点重合，那么AD+FC小于AE+EC
第四种：最常见的一种情况，那就是两点在线段中间来回活动，那么E点是始终在三角形内活动，所以AD+FC小于AE+EC

收起

D、F为中点，
AD=DB,BF=FC,且DF=AC/2,
AD+FC=BD+BF,在△BDF中，BD+BF≥DF，
在△AEC中，AE+EC≥AC，
又DF=AC/2，DF＜AC，
AD+FC≤AE+EC，