已知：在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H 分别在AC、AB上,求内接矩形EFGH的最大面积.

已知：在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H 分别在AC、AB上,求内接矩形EFGH的最大面积.
已知：在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H 分别在AC、AB上,求内接矩形EFGH的最大面积.

已知：在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H 分别在AC、AB上,求内接矩形EFGH的最大面积.
三角形ABC∽三角形AHG,
设HG交AD于K,
AK:AD=HG:BC
(AD-GF):AD=HG:BC
(16-GF):16=HG:20
HG=20-5GF/4
矩形EFGH的面积S
=HG*GF
=(20-5GF/4)GF
=(5/4)(16GF-GF²)
=(5/4)(GF²-16GF+64-64)
=(5/4)[(GF-8)²-64]
=80-(5/4)(GF-8)²
(5/4)(GF-8)²>=0,-(5/4)(GF-8)²

如图，设HG=x，PD=y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴APAD=HGBC，
∵BC=20，AD=16，
∴16-y16=x20，
解得y=-45x+16，
∴矩形EFGH的面积=xy=x（-45x+16）=-45（x-10）2+80，
∴当x=10，即HG=10时，内接矩形EFGH有...

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如图，设HG=x，PD=y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴APAD=HGBC，
∵BC=20，AD=16，
∴16-y16=x20，
解得y=-45x+16，
∴矩形EFGH的面积=xy=x（-45x+16）=-45（x-10）2+80，
∴当x=10，即HG=10时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是80．

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