已知：四边形ABCD中,角A=角B=90°,DE,CE分别平分角ADC,角BCD,求证：AE=BE急用
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 02:27:50
已知：四边形ABCD中,角A=角B=90°,DE,CE分别平分角ADC,角BCD,求证：AE=BE急用
已知：四边形ABCD中,角A=角B=90°,DE,CE分别平分角ADC,角BCD,求证：AE=BE
急用
已知：四边形ABCD中,角A=角B=90°,DE,CE分别平分角ADC,角BCD,求证：AE=BE急用
证明：作EH垂直CD于点H,
则：∠EHD=∠EHC=90°
因为：DE,CE分别平分角ADC,角BCD
所以：∠ADE=∠EDH,∠ECH=∠ECB
在⊿ADE和⊿HDE中：
因为：∠A=∠EHD=90°,∠ADE=∠HDE,DE=DE
所以：⊿ADE≌⊿HDE
所以：AE=HE
同理：：⊿BCE≌⊿HCE
所以：BE=HE
所以：AE=BE
作EF∥BC，交CD于F，∵∠A=∠B=90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB，即AD∥BC，∵CE、DE都是角平分线，∴∠ADE=∠EDF=∠DEF，∠BCE=∠CEF=∠ECF，故∠DEC=90°，即△CDE是直角三角形，且DF=EF=CF，∴F是斜边CD的中点，又EF∥BC，则E是AB的中点，即AE=BE。
有点麻烦，坐等高手
证明：延长DE与CB的延长线交于点F
因为角A=角B=90度
所以角A+角B=180度
所以AD平行FC
所以角ADF=角F
因为DE平分角ADC
所以角ADF=角CDF
所以角CDF=角F
所以CD=CF
因为CE平分角BCD
所以角DCE=角FCE
因为CE=CE
所以三角形DCE和三角形FCE全等...
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证明：延长DE与CB的延长线交于点F
因为角A=角B=90度
所以角A+角B=180度
所以AD平行FC
所以角ADF=角F
因为DE平分角ADC
所以角ADF=角CDF
所以角CDF=角F
所以CD=CF
因为CE平分角BCD
所以角DCE=角FCE
因为CE=CE
所以三角形DCE和三角形FCE全等（AAS)
所以DE=EF
因为角ADF=角F（已证）
角AED=角BEF（对顶角相等）
所以三角形ADE和三角形BFE全等（ASA)
所以AE=BE
收起
let me tell you——
过E作EF∥AD交DC于F
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE=∠FDE
∴DE=EF
同理 EF=FC
所以EF为梯形的中位线
所以AE=BE
过E做EM⊥CD于M，则∠EMC=∠EMD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠EMC=90°
∴△BCE和△MCE是Rt△
∵CE是∠BCD的平分线，即∠MCE=∠ECB
CE=CE
∴Rt△BCE≌Rt△MCE
∴BE=EM
同理Rt△AED≌Rt△EDM
∴AE=EM
∴AE=BE