已知椭圆x²/25+y²/16=1,△ABC是椭圆的内接三角形,点A是椭圆的上定点,此椭圆的右焦点F是△ABC的重心,求BC边所在的直线方程.

已知椭圆x²/25+y²/16=1,△ABC是椭圆的内接三角形,点A是椭圆的上定点,此椭圆的右焦点F是△ABC的重心,求BC边所在的直线方程.
已知椭圆x²/25+y²/16=1,△ABC是椭圆的内接三角形,点A是椭圆的上定点,此椭圆的右焦点F是△ABC的重心,求BC边所在的直线方程.

已知椭圆x²/25+y²/16=1,△ABC是椭圆的内接三角形,点A是椭圆的上定点,此椭圆的右焦点F是△ABC的重心,求BC边所在的直线方程.

a² = 25, b² = 16, A(0, 4)

c² = 25 - 16 = 9, F(3, 0)

令BC的中点为D(p, q), 根据重心的性质: |AF| = 2|FD|, 且
(0 - 3)/(3 - p) = 2, p = 9/2

(4 - 0)/(0 - q) = 2, q = -2

令B(m, n), C(u, v)

m²/25 + n²/16 = 1          (1)

u²/25 + v²/16 = 1          (2)

D为BC的中点:

9/2 = (m + u)/2, m + u = 9         (3)

-2 = (n + v)/2, n + v = -4            (4)

(1) - (2):

(m² - u²)/25 = -(n² - v²)/16, (m + u)(m - u)/25 = -(n + v)(n - v)/16

BC的斜率k = (n - v)/(m - u)

= (-16/25)(m + u)/(n + v)

= (-16/25)*9/(-4)

= 36/25

y + 2 = (36/25)(x - 9/2)

y = 36x/25 - 212/25

见图,题中的数字有问题