如何求几何分布的均值倒数的期望?X1,. .. , Xn~iid p(x,θ),其中p(x,θ) =θ(1- θ)^(x−1), x = 1,2,. .. , θ∈(0,1).求E(1/X拔)

如何求几何分布的均值倒数的期望?X1,. .. , Xn~iid p(x,θ),其中p(x,θ) =θ(1- θ)^(x−1), x = 1,2,. .. , θ∈(0,1).求E(1/X拔)
如何求几何分布的均值倒数的期望?
X1,. .. , Xn~iid p(x,θ),其中p(x,θ) =θ(1- θ)^(x−1), x = 1,2,. .. , θ∈(0,1).
求E(1/X拔)

如何求几何分布的均值倒数的期望?X1,. .. , Xn~iid p(x,θ),其中p(x,θ) =θ(1- θ)^(x−1), x = 1,2,. .. , θ∈(0,1).求E(1/X拔)
用C(x,y)表示x中选y个的组合数,即C(x,y) = x!/(y!(x-y)!).
由挡板法可知C(k-1,n-1)等于x1+x2+...+xn = k的正整数解的组数,
因此对k ≥ n,P(X1+...+Xn = k) = C(k-1,n-1)·θ^n·(1- θ)^(k-n).
于是E(n/(X1+...+Xn)) = ∑{k ≥ n} n·C(k-1,n-1)·θ^n·(1- θ)^(k-n)/k
= nθ^n/(1-θ)^n·∑{k ≥ 0} C(n+k-1,n-1)·(1- θ)^(n+k)/(n+k)
设法求幂级数∑{k ≥ 0} C(n+k-1,n-1)·x^(n+k)/(n+k)的和函数f(x).
其导数f'(x) = ∑{k ≥ 0} C(n+k-1,n-1)·x^(n+k-1) = x^(n-1)·∑{k ≥ 0} C(n+k-1,n-1)·x^k.
由1/(1-x) = ∑{k ≥ 0} x^k求n-1次导得(n-1)!/(1-x)^n = ∑{k ≥ 0} (n+k-1)!·x^k/k!,
即1/(1-x)^n = ∑{k ≥ 0} C(n+k-1,n-1)·x^k,故f'(x) = x^(n-1)/(1-x)^n.
由f(0) = 0,有f(x) = ∫{0,x} t^(n-1)·(1-t)^(-n) dt.
结果写起来比较复杂(如果不用超几何函数).
可以将t^(n-1) = (1-(1-t))^n用二项式定理展开,
被积函数化为∑{0 ≤ k ≤ n-1} C(n-1,k)·(-1)^k·(1-t)^(k-n).
f(x) = (-1)^n·ln(1-x)+∑{0 ≤ k ≤ n-2} C(n-1,k)·(-1)^k·((1-x)^(k-n+1)-1)/(n-k-1).
于是E(n/(X1+...+Xn)) = nθ^n/(1-θ)^n·f(1-θ)
= n·(1-θ)^(-n)·((-θ)^n·ln(θ)+∑{0 ≤ k ≤ n-2} C(n-1,k)·(-1)^k·(θ^(k+1)-θ^n)/(n-k+1))
也可以用分部积分.
设f_n(x) = (-1)^n·∫{0,x} t^(n-1)·(1-t)^(-n) dt.
对n > 1,有(-1)^n·f_n(x) = x^(n-1)·(1-x)^(1-n)/(n-1)-∫{0,x} t^(n-2)·(1-t)^(1-n) dt.
= (x/(1-x))^(n-1)/(n-1)-(-1)^(n-1)·f_(n-1)(x).
即f_n(x)-f_(n-1)(x) = (-1)^n·(x/(1-x))^(n-1)/(n-1).
而f_1(x) = -∫{0,x} 1/(1-t) dt = ln(1-x).
于是f_n(x) = ln(1-x)+∑{1 ≤ k ≤ n-1} (-1)^(k+1)·(x/(1-x))^k/k.
f(x) = (-1)^n·f_n(x) = (-1)^n·ln(1-x)+∑{1 ≤ k ≤ n-1} (-1)^(n-k-1)·(x/(1-x))^k/k.
这个表达式表面上与之前得到的不同,其实是因为(x/(1-x))^k没有展开.
用这种形式,可得E(n/(X1+...+Xn)) = nθ^n/(1-θ)^n·f(1-θ)
= n·((θ/(θ-1))^n·ln(θ)-∑{1 ≤ k ≤ n-1} (θ/(θ-1))^(n-k)/k)
= n·((θ/(θ-1))^n·ln(θ)-∑{1 ≤ k ≤ n-1} (θ/(θ-1))^k/(n-k))
这个表达式也许简单一点?
计算繁杂,如有错误请指出.

我靠！这。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。