.O为坐标原点,过点P（2,0）,且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M（x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON

.O为坐标原点,过点P（2,0）,且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M（x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON
.O为坐标原点,过点P（2,0）,且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M（x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON

.O为坐标原点,过点P（2,0）,且斜率为k的直线l交抛物线y^2=2x于M（x1,y1),N(x2,y2)两点,求证OM⊥ON
直线MN的方程为：y=k(x-2) (k≠0)
代入抛物线方程：k(x-2)²=2x
整理,得到：
k²x²-(4k²+2)x+4k²=0
故：
x1+x2=(4k²+2)/k²=4+2/k²……①
x1x2=4k²/k²=4……②
向量OM：(x1,y1),向量ON：(x2,y2)
∵OM⊥ON
∴应该满足：x1x2+y1y2=0
而：
x1x2+y1y2
=x1x2+k(x1-2)k(x2-2)
=(k²+1)x1x2-2k²(x1+x2)+4k²
将①、②代入计算可得：
x1x2+y1y2
=(k²+1)*4-2k²(4+2/k²)+4k²=0
因此：OM⊥ON
OK~