在椭圆x^2/40+y^2/10=1内有一点A(4,-1）过A作直线L交椭圆于P、P'两点,若PA=P'A,试在椭圆上求一点Q,使△QPP面积最大.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:46:20
在椭圆x^2/40+y^2/10=1内有一点A(4,-1）过A作直线L交椭圆于P、P'两点,若PA=P'A,试在椭圆上求一点Q,使△QPP面积最大.
在椭圆x^2/40+y^2/10=1内有一点A(4,-1）过A作直线L交椭圆于P、P'两点,
若PA=P'A,试在椭圆上求一点Q,使△QPP面积最大.
在椭圆x^2/40+y^2/10=1内有一点A(4,-1）过A作直线L交椭圆于P、P'两点,若PA=P'A,试在椭圆上求一点Q,使△QPP面积最大.
直线L:y+1=k(x-4),y=kx-1-4k
k(L)=(yP-yP")(xP-xP")
PA=P"A:
xP+xP"=2xA=2*4=8,yP+yP"=2yA=2*(-1)=-2
x^2/40+y^2/10=1
x^2+4y^2=40
(xP)^2+4(yP)^2=40.(1)
(xP")^2+4(yP")^2=40.(2)
(1)-(2):
(xP+xP")*(xP-xP")+4(yP+yP")*(yP-yP")=0
(xP+xP") +4(yP+yP")*(yP-yP")/(xP-xP")=0
8-4*(-2)*k(L)=0
kL=1
直线L:y=x-5
x^2+4y^2=40
x^2+4(x-5)^2=40
5x^2-40x+60=0
xP+xP"=8,xP*xP"=12
(yP-yP")^2=(xP-xP")^2=(xP+xP")^2-4xP*xP"=8^2-4*12=16
(PP")^2=2*16=32
|PP"|=4√2
使椭圆上一点Q的△QPP面积最大,则以底|PP"|=4√2为三角形的高h最大,即点Q就是椭圆上平行L的直线K与椭圆相切的切点:
K:y=x+b
x^2+4(x+b)^2=40
5x^2+8bx+4b^2-40=0
因为K与椭圆相切,故上方程的判别式△=0,即
(8b)^2-4*5*(4b^2-40)=0
b=±5√2
取b=5√2,h可以获得最大
5x^2+8(5√2 )x+4(5√2 )^2-40=0
xQ=-4√2 ,yQ=√2
直线L与直线K的距离h,即点(0,5√2)到直线L的距离h:
直线L:y=x-5,x-y-5=0
h=|-5√2-5|/√2=(5+5√2)/√2
S△QPP"=|PP"|*h/2=4√2*[(5+5√2)/√2]/2=10*(1+√2)
答:点Q(-4√2 ,√2 ),△QPP"的面积最大
已知弦中点可用点差法,
设P(x1,y1)P'(x2,y2) x1+x2=8 y1+y2=-2
x1^2/40+y1^2/10=1①
x2^2/40+y2^2/10=1②
两式相减:(x1+x2)*(x1-x2)/40 + (y1+y2)(y1-y2)/10 = 0
化简:(y1-y2)/(x1-x2)=1=k(斜率)
直线方程: y=...
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已知弦中点可用点差法,
设P(x1,y1)P'(x2,y2) x1+x2=8 y1+y2=-2
x1^2/40+y1^2/10=1①
x2^2/40+y2^2/10=1②
两式相减:(x1+x2)*(x1-x2)/40 + (y1+y2)(y1-y2)/10 = 0
化简:(y1-y2)/(x1-x2)=1=k(斜率)
直线方程: y=x-5 ③
x^2/40+y^2/10=1 ④
得到:x^2 - 8x +12 =0
弦长PP'=√(1+1) * 4 = 4 √2
显然只要三角形的高最长,即椭圆上一点到该直线的最远距离
显然作椭圆的（平行于已知直线L的）切线
求切线的话，显然是两条，但是原点应该在L和切线之间的切线才是我们所要找的,这样只有一条了.
y=x+5 √2 ,交点为(-4 √2 , √2 )
Q就是交点(-4 √2 , √2 )
所以Q到直线的距离为d=(10+5√2 )/2
S=10√2 + 10
真累=.=
收起