1²+2²+3²+.n²等于多少

1²+2²+3²+.n²等于多少
1²+2²+3²+.n²等于多少

1²+2²+3²+.n²等于多少

这个比较麻烦啊 可以用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-...

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这个比较麻烦啊 可以用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

收起

利用a^3-b^3=(a-b)^+3ab(a-b)
n^3-(n-1)^3=1+3n(n-1)=3n^-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-2)^-3(n-2)+1
...
2^3-1^3=3*2^-3*2+1
1^3=3*1^-3*1+1
以上各式...

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利用a^3-b^3=(a-b)^+3ab(a-b)
n^3-(n-1)^3=1+3n(n-1)=3n^-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-2)^-3(n-2)+1
...
2^3-1^3=3*2^-3*2+1
1^3=3*1^-3*1+1
以上各式相加：n^3=3*(1^+2^+...+n^)-3*(1+2+...+n)+n
移项：
3(1^+2^+...+n^)=n^3+3(1+2+...+n)-n
=n^3+3n(n+1)/2-n
=(n/2)[2n^+3(n+1)-2]
=(n/2)[2n^+3n+1]
=(n/2)(n+1)(2n+1)
所以1^+2^+...+n^=n(n+1)(2n+1)/6

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