如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN取最小值时,CN= ▲
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 16:33:38
如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN取最小值时,CN= ▲
如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN
取最小值时,CN= ▲
如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O 的直线MN分别交 正方形的边AB,CD于点M,N,则当 MN/BN取最小值时,CN= ▲
易证△AOM≌△CON则AM=CN=x
设CN=x,经过点N作NE⊥AB
则四边形NEBC为矩形
∴NE=BC=1,BE=CN=x
则ME=(1-x)-x=1-2x(或2x-1)
∴MN²=EM²+EN²=2-4x+4x²
BN²=BC²+CN²=1+x²
令2-4x+4x²=t(1+x²),整理
﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有实根
∴16-4(t-4)(t-2)≧0
解得:3-√5≦t≦3+√5
∴当 MN/BN取最小值时,
即t取最小值3-√5,x=-4/2(t-4)=(√5-1)/2
即CN=(√5-1)/2
作图可知,∵MN过正方形中心O,∴ CN=AM,(MN) ^2=(1-2CN) ^2+1,
(BN) ^2=(CN) ^2+1,MN/BN 取最小值时,
(MN/BN) ^2=[(1-2CN) ^2+1]/[ (CN) ^2+1] =4-2(1+2CN)/ [ (CN) ^2+1]亦取最小值,
即 (1+2CN)/ [ (CN) ^2+1] =4/[(1+2CN)+5/(1...
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作图可知,∵MN过正方形中心O,∴ CN=AM,(MN) ^2=(1-2CN) ^2+1,
(BN) ^2=(CN) ^2+1,MN/BN 取最小值时,
(MN/BN) ^2=[(1-2CN) ^2+1]/[ (CN) ^2+1] =4-2(1+2CN)/ [ (CN) ^2+1]亦取最小值,
即 (1+2CN)/ [ (CN) ^2+1] =4/[(1+2CN)+5/(1+2CN)-2] ≤4/(√5-2)
当且仅当(1+2CN) =5/(1+2CN) 即CN=(√5-1)/2
即当 MN/BN 取最小值时,CN=(√5-1)/2
收起
1/2,c与b重合