在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC边上至少有一点P,要使三角形ABP 三角形APD 三角形CDP两两相似,则a b间的关系一定满足
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:48:34
在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC边上至少有一点P,要使三角形ABP 三角形APD 三角形CDP两两相似,则a b间的关系一定满足
在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC边上至少有一点P,要使三角形ABP 三角形APD 三角形CDP两两相似,则a b间的关系一定满足
在矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC边上至少有一点P,要使三角形ABP 三角形APD 三角形CDP两两相似,则a b间的关系一定满足
【答案：b≤a/2】
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这道题很有水平.
首先你可以画图分析,如我画的图,三个三角形要两两相似,∠APD必为直角.这点应该不难理解.
反过来,如果∠APD是直角,这三个三角形就相似.
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可以简单证明一下,首先∠ABP=∠APD=∠PCD=90°
AD//BC,推出∠ADP=∠DPC,∠APB=∠DAP
所以△APD∽△PCD (有两个角相等)
△ABP∽△APD
所以 △APD∽△PCD∽△ABP.
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现在问题就转换为,a,b满足什么关系时,BC上有一点P,使得 ∠APD=90°?
不知道你有没学过,圆直径所对的圆周角为90°.
现在就把AD看成是圆的直径,AB的中点为圆心,当a,b 满足什么条件时,这个圆能与BC相切?
就是圆心到BC的距离必须小于等于圆的半径,圆心到BC的距离其实就等于b,而半径为a/2.
所以当b≤a/2,三角形两两相似.
【这种在解得的时候不太好表达】
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也可以通过计算来讨论a,b的关系.
前面讨论过,只要∠APD是直角,这三个三角形就相似.
那好,我们就将它当做直角来处理.
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用勾股定理.
设BP为x,那么CP=a-x.
AP²=AB²+BP²=b²+x²
DP²=CP²+CD²=（a-x）²+b²
而 AD²=AP²+DP²
即 a²=b²+x²+（a-x）²+b²
整理得 x²-ax+b²=0
要使P点存在,方程必须有实数根.
△=（-a）²-4b²≥0
a²-4b²≥0
解得 b≤a/2
a>=b