f(x)=xlnx（1）设F(x)=f(x)/a(a>0),求F(x)在[a,2a]的最大值（2）证明：xlnx>x/e^x-2/e恒成立

f(x)=xlnx（1）设F(x)=f(x)/a(a>0),求F(x)在[a,2a]的最大值（2）证明：xlnx>x/e^x-2/e恒成立
f(x)=xlnx
（1）设F(x)=f(x)/a(a>0),求F(x)在[a,2a]的最大值
（2）证明：xlnx>x/e^x-2/e恒成立

f(x)=xlnx（1）设F(x)=f(x)/a(a>0),求F(x)在[a,2a]的最大值（2）证明：xlnx>x/e^x-2/e恒成立
(1)求导,增函数
（2）两边除以x,倒一边,设函数,联系一问,求导,注意x>0

(1).F(x)求导=1/a（lnx+1)
讨论当0 当1/2e F（a）=lna ，F（2a）=2ln2a F(2a）-F（a）=ln4a，当1/2e 最大值为lna，a=1/4...

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(1).F(x)求导=1/a（lnx+1)
讨论当0 当1/2e F（a）=lna ，F（2a）=2ln2a F(2a）-F（a）=ln4a，当1/2e 最大值为lna，a=1/4时均为最大值，1/4 当a>=1/e时，F（x）在定义域内单调递增，最大值为F(2a）=2ln2a
终上，01/4时为2ln2a，a=1/4时放在哪边都行。
（2）由xlnx>x/e^x-2/e可得
lnx-[1/(e^x)-2/ex)]>0
令H(x)=lnx-[1/(e^x)-2/(ex)]
求导得 H'(x)=(1/x)+1/e^x+2/(ex^2)
因为x>0
所以H'(x)>0
即H(x)是增函数
因此，只需证明当x趋于0时，lnx>1/(e^x)-2/(ex)即可
在不等式两端同时乘以x，因为x>0，所以不影响不等号方向，得：
xlnx-x/e^x+2/e>0
令T(x)=xlnx-x/e^x+2/e,
lim(x->0)T(x)
=2/e>0 (这步你会吧？)
所以，综上所述，对于一切x∈(0,+∞),都有
xlnx>x/e^x-2/e

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