AO为等腰△ABC高,OB=OC=1,OA=3,P为AC上动点,Q为AB延长线上动点,且CP=BQ,连接PQ交BC于点M,过P作PN垂直BC于点N.当P运动是,MN长度是否改变,如不变,求值,如变,求范围

AO为等腰△ABC高,OB=OC=1,OA=3,P为AC上动点,Q为AB延长线上动点,且CP=BQ,连接PQ交BC于点M,过P作PN垂直BC于点N.当P运动是,MN长度是否改变,如不变,求值,如变,求范围
AO为等腰△ABC高,OB=OC=1,OA=3,P为AC上动点,Q为AB延长线上动点,且CP=BQ,连接PQ交BC于点M,过P作PN垂直BC于点N.当P运动是,MN长度是否改变,如不变,求值,如变,求范围

AO为等腰△ABC高,OB=OC=1,OA=3,P为AC上动点,Q为AB延长线上动点,且CP=BQ,连接PQ交BC于点M,过P作PN垂直BC于点N.当P运动是,MN长度是否改变,如不变,求值,如变,求范围
不变.长度为1
过点P做AB的平行线交BC于点D.
由角DPQ=角BQP,角BDP=角QBD,PK=BQ（PD平行于AB,△ABC为等腰,则PD=PC,且PC=BQ,所以PK=BQ）,可得△QBM全等△PDM,MD=BM.
由于△PDC为等腰（上证）,PN垂直于DC,所以DN=NC.
DN+MD=NC+BM,且BC长为2,所以MN长度为1