求数列的通项公式：a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2

求数列的通项公式：a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2
求数列的通项公式：a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2

求数列的通项公式：a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2
an=2an-1+an-2,可以构造方程x^2=2x+1,x1=1-√2,x2=1+√2
则an-（1-√2）an-1=（1+√2）[an-1-（1-√2）an-2]或
an-（1+√2）an-1=（1-√2）[an-1-（1+√2）an-2]
令bn=an-（1-√2）an-1,bn'=an-（1+√2）an-1
则bn=（1+√2）bn-1,bn’=（1-√2）bn-1’
所以bn,bn’为等比数列,
b1=a1-（1-√2）a0=1,q=1+√2,所以bn=b1q^(n-1)=(1+√2)^(n-1)
b1'=a1-（1+√2）a0=1,q'=1-√2,所以bn'=b1'q'^(n-1)=(1-√2)^(n-1)
bn=an-（1-√2）an-1=(1+√2)^(n-1)
bn'=an-（1+√2）an-1=(1-√2)^(n-1)
所以an=√2[(1+√2)^n-(1-√2)^n]/4