如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证：∠APO=∠CQP

如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证：∠APO=∠CQP
如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证：∠APO=∠CQP

如图,在圆O中,两弦AB与CD的中点分别是P,Q,且弧AB=弧CD,连接PQ.求证：∠APO=∠CQP
连接OP,OQ
因为P、Q分别为AB、CD的中点
所以OP⊥AB；OQ⊥CD；
又OP=OQ,
∴∠OPQ=∠OQP
∴∠APQ=90°—∠OPQ
∠AQP=90°—∠OQP
即证：∠APQ=∠AQP

应该证的是：∠APQ=∠CQP
证明：连结OP和OQ，因为P,Q为中点，所以OP⊥AB，OQ⊥CD，所以∠OPA=∠OQC=90°。又因为弧AB=弧CD，所以AB=CD，所以OP=OQ，所以∠OPQ=∠OQP。所以∠OPA-∠OPQ=∠OQC-∠OQP，即：∠APQ=∠CQP。

证明：连接OP，OQ
∵AP=PB
∴OP⊥AB
∴APO=90°
同理可得：OQ⊥CD且∠CQO=90°
∴∠AP0=∠CQO
∵OP⊥AB，OQ⊥CD且AB=CD
∴OP=OQ
∴∠OPQ=∠OQP
∴∠APQ=∠APO+∠OPQ=∠CQO+∠OQP=∠CQP