椭圆方程椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个焦点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为?

椭圆方程椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个焦点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为?
椭圆方程
椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个焦点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为?

椭圆方程椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个焦点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为?
交点在y=2x
是(c,2c)
代入
c²/a²+4c²/b²=1
两边乘a²b²
b²c²+4a²c²=a²b²
(a²-c²)c²+4a²c²=a²(a²-c²)
c^4-6a²c²+a^4=0
c²=(3±2√2)a²
椭圆则0所以c²/a²=3-2√2
e=c/a=√2-1

将x=c代入直线y=2x
则y=2c
所以点（c，2c）在椭圆上
c²/a²+4c²/b²=1
因为b²=a²-c²
则
c²/a²+4c²/(a²-c²)=1
c²(a²-c²)+4c&sup...

全部展开

将x=c代入直线y=2x
则y=2c
所以点（c，2c）在椭圆上
c²/a²+4c²/b²=1
因为b²=a²-c²
则
c²/a²+4c²/(a²-c²)=1
c²(a²-c²)+4c²*a²=a²(a²-c²)
c^4-6a²c²+a^4=0
(c/a)^4-6(c/a)²+1=0
e^4-6e²+1=0
e²=(6±4√2)/2=3±2√2
因为0所以e²=3-2√2=(√2-1)²
e=√2-1

收起

将x=c代入椭圆，得到一个关系式；
再利用a^2=b^2+c^2，代入上个关系式中得到a与c的关系；
由于e=c/a，将关系式换元；
最后用求根公式可得e=3+2倍根号2