△ABC中P为内心,若AB、BC、CA分别为a、b、c（向量）,λ((a/|a|)+(c/|c|))=向量AP,求λλ=(|a||b|)/(|a|+|b|+|c|) 怎么求?

△ABC中P为内心,若AB、BC、CA分别为a、b、c（向量）,λ((a/|a|)+(c/|c|))=向量AP,求λλ=(|a||b|)/(|a|+|b|+|c|) 怎么求?
△ABC中P为内心,若AB、BC、CA分别为a、b、c（向量）,λ((a/|a|)+(c/|c|))=向量AP,求λ
λ=(|a||b|)/(|a|+|b|+|c|)
怎么求?

△ABC中P为内心,若AB、BC、CA分别为a、b、c（向量）,λ((a/|a|)+(c/|c|))=向量AP,求λλ=(|a||b|)/(|a|+|b|+|c|) 怎么求?
先证明一个结论：△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
P是三角形内心的充要条件是aPA向量+bPB向量+cPC向量=0向量
【证明】
充分性：
已知aPA向量+bPB向量+cPC向量=0向量,
延长CP交AB于D,根据向量加法得：
PA=PD+DA,PB=PD+DB,代入已知得：
a(PD+DA)+b(PD+DB) +cPC=0,
因为PD与PC共线,所以可设PD=kPC,
上式可化为(ka+kb+c) PC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量PC与向量DA、DB不共线,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.
必要性：
已知P是三角形内心,
设BP与AC相交于E,CP与AB相交于F,
∵P是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CP的平行线,与BP的延长线相交于N,过A作BP的平行线,与CP的延长线相交于M,
所以四边形PMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量PA
=向量PM+向量PN
=(PM/CP)*向量CP+(PN/BP)*向量BP
=(AE/CE)*向量CP+(AF/BF)*向量BP
=(c/a)*向量CP+(b/a)*向量BP∴a*向量PA=b*向量BP+c*向量CP
∴a*向量PA+b*向量PB+c*向量PC=向量0
下面再解你的这个题目：（我改了一下对应字母!）
△ABC中P为内心,若AB、BC、CA分别为c、a、b（向量）,λ((c/|c|)+(b/|b|))=向量AP,求λ.（λ=(|c||b|)/(|a|+|b|+|c|) ）
【解】
根据上面已证结论有：
|a|*向量PA+|b|*向量PB+|c|*向量PC=向量0
即|a|*向量PA+|b|*向量(PA+AB)+|c|*向量(PA+AC)=向量0
所以(|a|+|b|+|c|) *向量AP=|b|*向量AB+|c\*向量AC,
即(|a|+|b|+|c|) *向量AP=|b|*向量c+|c|*向量b,
(|a|+|b|+|c|) *向量AP=|b|*[|c|*(c/|c|)]+|c|*[|b|*(b/|b|)],
即(|a|+|b|+|c|) *向量AP=|b||c|*( c/|c|+ b/|b|),
向量AP=[|b||c|/(|a|+|b|+|c|)] *( c/|c|+ b/|b|),
∴λ=(|c||b|)/(|a|+|b|+|c|).

△ABC中P为内心，若|BC|、|CA|、|AB|分别为a、b、c(字母稍作更动）,
则aPA+bPB+cPC=0,
于是AP=(b/a)PB+(c/a)PC=λ(AB/c+AC/b)=λ[(AP+PB)/c+(AP+PC)/b]
=λ[(1/c+1/b)AP+PB/c+PC/b]
=λ{(b+c)/(bc)*[(b/a)PB+(c/a)PC]+PB/c+PC/b}...

全部展开

△ABC中P为内心，若|BC|、|CA|、|AB|分别为a、b、c(字母稍作更动）,
则aPA+bPB+cPC=0,
于是AP=(b/a)PB+(c/a)PC=λ(AB/c+AC/b)=λ[(AP+PB)/c+(AP+PC)/b]
=λ[(1/c+1/b)AP+PB/c+PC/b]
=λ{(b+c)/(bc)*[(b/a)PB+(c/a)PC]+PB/c+PC/b}
=λ{(a+b+c)/(ac)*PB+(a+b+c)/(ab)*PC],
PB,PC不共线，可以构成一个基底，
∴b/a=λ(a+b+c)/(ac),
∴λ=bc/(a+b+c).

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