由直线y＝0,x＝8及抛物线y＝x²围成一个曲边三角形,在曲边y＝x²上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y＝0,x＝8所围成的三角形面积最大?

由直线y＝0,x＝8及抛物线y＝x²围成一个曲边三角形,在曲边y＝x²上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y＝0,x＝8所围成的三角形面积最大?
由直线y＝0,x＝8及抛物线y＝x²围成一个曲边三角形,在曲边y＝x²上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y＝0,x＝8所围成的三角形面积最大?

由直线y＝0,x＝8及抛物线y＝x²围成一个曲边三角形,在曲边y＝x²上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y＝0,x＝8所围成的三角形面积最大?



答：
0<=x<=8时y=x²
求导：y'=2x
设切点为(a,a²)
切线斜率k=y'(a)=2a
切线y=2a(x-a)+a²=2ax-a²
与x轴交点A(a/2,0)
与直线x=8交点B(8,16a-a²)
三角形面积：
S=(16a-a²)×(8-a/2)÷2=a(a-16)²÷4
对a求导：
4S'(a)=(a-16)²+2a(a-16)=0
因为：0<a<8
所以：a=16/3,此时面积最大
切点为(16/3,256/9)