在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 14:15:39
在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离在抛物线y^2=16x上

在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离
在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离

在抛物线y^2=16x上求一点P,使点P到直线2x+y+6=0的距离最短,并求出最短距离
设P(x,y),那么y²=16x
点P到直线的距离为
|2x+y+6|/√5
=|y²/8+y+6|/√5
=|1/8(y²+8y+16)-2+6|/√5
=|1/8(y+4)²+4|/√5
y=-4有最小值
=4√5/5
x=1
P(1,-4)

设P点坐标为(x,y)
d=|2x+y+6|/√5
=|y²/8+y+6|/√5
=|y²+8y+48|/(8√5)
=|(y+4)²+32|/(8√5)
当 y=-4时 d最小,即 d=4√5/5
即 P点坐标为(1,-4)


设点p坐标(y²/16,y),由点到直线距离公式得
d=|2(y²/16)+y+6|/√(2²+1²)
=|y²/8 +y+6|/√5
=|(1/8)(y+4)²+4|/√5
=[(1/8)(y+4)²+4]/√5
当y=-4时,d有最小值dmin=4/√5=4√5/5
...

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设点p坐标(y²/16,y),由点到直线距离公式得
d=|2(y²/16)+y+6|/√(2²+1²)
=|y²/8 +y+6|/√5
=|(1/8)(y+4)²+4|/√5
=[(1/8)(y+4)²+4]/√5
当y=-4时,d有最小值dmin=4/√5=4√5/5
此时,x=y²/16=(-4)²/16=1
点P坐标(1,-4),最短距离4√5/5

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