设a,b,c是正实数,证明(a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a)÷(a＋b＋c)≥a×b×c

设a,b,c是正实数,证明(a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a)÷(a＋b＋c)≥a×b×c
设a,b,c是正实数,证明(a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a)÷(a＋b＋c)≥a×b×c

设a,b,c是正实数,证明(a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a)÷(a＋b＋c)≥a×b×c
因为a^2+b^2>=2ab,
所以a^2b^2+b^2c^2>=2*ab*bc=2abc*b,
b^2c^2+c^2a^2>=2*bc*ca=2abc*c,
c^2a^2+a^2b^2>=2*ca*ab=2abc*a,
所以2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)>=2abc(a+b+c),
即a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c),
因为a,b,c是正实数,
两边除以(a+b+c),得
(a^2b^2+b^2c62+c^2a^2)÷(a+b+c)>=abc.

不妨设0则a^2b<=a^2c<=b^2c
由排序不等式 a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a=a^2b*b+b^2c*c+a^2c*c为乱序和
由乱序和大于等于反序和
故a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a>=a^2*b*c+b^2*c*a+a^2*c*b
=abc(a+b+c)
故左边大于等于a+...

全部展开

不妨设0则a^2b<=a^2c<=b^2c
由排序不等式 a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a=a^2b*b+b^2c*c+a^2c*c为乱序和
由乱序和大于等于反序和
故a×a×b×b＋b×b×c×c＋c×c×a×a>=a^2*b*c+b^2*c*a+a^2*c*b
=abc(a+b+c)
故左边大于等于a+b+c等于右边
当且仅当a=b=c取等号
故不等式成立
背景知识：
排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n+……+ a n b n≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an，确定大小关系.
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。

收起