2012年邵阳市压轴题中考数学我直线y=-3/4+b与x轴相交于点A

2012年邵阳市压轴题中考数学我直线y=-3/4+b与x轴相交于点A
2012年邵阳市压轴题中考数学
我直线y=-3/4+b与x轴相交于点A

2012年邵阳市压轴题中考数学我直线y=-3/4+b与x轴相交于点A

　　如图所示,直线3 y=x+b4与x轴相交于点A（4,0） ,与y轴相交于点B, 将△AOB沿着y轴折叠,使点A落在x轴上,点A的对应点为点C.

　　⑴求点C的坐标；

　　⑵设点P为线段CA上的一个动点,点P与点A、C不重合,连结PB,以点P为端点作射线PM交AB于 点M,使∠BPM=∠BAC

　　① 求证：△PBC∽△MPA；

　　② 是否存在点P使△PBM为直角三角形?若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

　　⑴∵A（4,0） ,且点C与点A关于y轴对称,∴C（－4,0） .

　　⑵ ①证明：∵∠BPM=∠BAC,且∠PMA=∠BPM+∠PBM,∠BPC=∠BAC+∠PBM,

          ∴∠PMA=∠BPC. 

　　     又∵点C与点A关于y轴对称,且∠BPM=∠BAC,∴∠BCP=∠MAP.

           ∴△PBC∽△MPA.

　　②存在.

　　∵直线3 y=x+b4  与x轴相交于点A（4,0） ,

       ∴把A（4,0）代入y= - 3/x+b4,得：b=3.

       ∴y= -3/4x+3.∴B（0,3） . 

           当∠PBM=90° 时,则有△BPO∽△ABO

　　∴PO/BO=BO/AO,

　　即 PO/3=3/4 .

         ∴PO=4/9 即：P1(-9/4,0).

        当∠PMB=90° 时,则∠PMA==90° （如图）.

 ∴∠PAM+MPA =90° .

 ∵∠BPM=∠BAC,∴∠BPM+∠APM =90° . ∴BP⊥AC.

 ∵过点B只有一条直线与AC垂直, 

∴此时点P与点O重合, 即： 符合条件的点P2的坐标为：P2（0,0）.

 ∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1(-9/4,0)、P2（0,0）.