椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积

椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积
椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积

椭圆内接等腰三角形 求椭圆x^2+3y^2=12的内接等腰三角形,使其底边平行椭圆的长轴,而面积最大,求最大面积
解；设等腰三角形底边为y=b,则（b仅是未知数,不是短板周）
底边与椭圆的交点横坐标为X=±根号下（12-3b2）
故等腰三角形面积为S=(2-b)乘根号（12-3b2）
即S=根号下（-3b4+12b3-48b+48）
令f(b)=-3b4+12b3-48b+48
求导得f(b)’=-(b+1)(b-2)2
故b=-1时,S有最大值,
且最大值为9
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改写椭圆方程，得：x^2/12＋y^2/4＝1，∴a＝2√3、b＝2。
依题意，令满足条件的等腰三角形是△ABC，且AB＝AC。
由椭圆的对称性可知：点A一定在y轴上，且BC⊥y轴。
一、当BC在x轴上时，显然有：BC＝2a＝4√3。
　　要使△ABC的面积最大，点A必须是椭圆的上顶点，∴此时△ABC中BC上的高为b＝2。
　　∴此时△ABC的面积＝（1/2...

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改写椭圆方程，得：x^2/12＋y^2/4＝1，∴a＝2√3、b＝2。
依题意，令满足条件的等腰三角形是△ABC，且AB＝AC。
由椭圆的对称性可知：点A一定在y轴上，且BC⊥y轴。
一、当BC在x轴上时，显然有：BC＝2a＝4√3。
　　要使△ABC的面积最大，点A必须是椭圆的上顶点，∴此时△ABC中BC上的高为b＝2。
　　∴此时△ABC的面积＝（1/2）BC×b＝（1/2）×4√3×2＝4√3＜4√4＝8。
二、当BC不在x轴上时，要使△ABC的面积最大，则点A与BC必须在x轴的两侧。
　　由椭圆的对称性，不失一般性地设BC在x轴的下方，则点A必须是椭圆的上顶点。
　　设B的坐标为（－2√3cost，－2sint），其中sint＞0、cost＞0。
　　则：C的坐标为（2√3cost，－2sint）。
　　∴BC＝4√3cost、△ABC中BC上的高＝b＋2sint＝2＋2sint。
　　∴△ABC的面积＝（1/2）（4√3cost）（2＋2sint）＝4√3cost（1＋sint）。
　　显然，当cost（1＋sint）有最大值时，△ABC的面积就有最大值。
　　令y＝cost（1＋sint），求导数，得：y′＝－sint（1＋sint）＋（cost）^2。
　　令y′＝－sint（1＋sint）＋（cost）^2＝0，得：－sint－（sint）^2＋（cost）^2＝0，
　　∴－sint－（sint）^2＋1－（sint）^2＝0，∴2（sint）^2＋sint－1＝0，
　　∴（2sint－1）（sint＋1）＝0，∴2sint－1＝0，∴sint＝1/2，∴cost＝√3/2。
　　容易检验出：当sint＞1/2时，y′＜0；当sint＜1/2时，y′＞0。
　　∴当sint＝1/2时，y有最大值，此时，y＝cost（1＋sint）＝（√3/2）（1＋1/2）＝3√3/4。
　　∴此时△ABC的面积＝4√3cost（1＋sint）＝4√3×3√3/4＝9。
比较一、二的结果，得：满足条件的椭圆内接三角形的最大面积为 9。

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