已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB

已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB
已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB

已知抛物线y^2=2px(p>0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,abs AB
(Ⅰ)直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得
x2-2(a+p)x+a2=0
设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
∴｜AB｜= =
∵0＜｜AB｜≤2p,8p(p+2a)＞0,∴0＜ ≤2p,解得- ＜a≤-
(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令其坐标为(x0,y0),
由中点坐标公式有
∴｜QM｜= = p
又∵△MNQ为等腰直角三角形,
∴｜QN｜=｜QM｜= p
∴S△NAB= ｜AB｜•｜QN｜= p•｜AB｜≤ p•2p= p2
即△NAB面积的最大值为 p2.

（1）直线l：y=x－a，代入y^2=2px，
得 x^2－2(a＋p)x＋a^2=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
0<|AB|=√2|x1-x2|=√[8p(p+2a)]≤2p
∴0<8p(p+2a)≤4p^2
解得：-p/2（...

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（1）直线l：y=x－a，代入y^2=2px，
得 x^2－2(a＋p)x＋a^2=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
0<|AB|=√2|x1-x2|=√[8p(p+2a)]≤2p
∴0<8p(p+2a)≤4p^2
解得：-p/2（2）设AB中点为Q，AB与x轴交于M，则△QMN为等腰直角三角形.
设Q（x0,x0-a),则x0=(x1+x2)/2=a+p,故Q(a+p,p).
∴|QM|=|QN|=√2p
∴S△NAB=1/2*|AB|*|QN|≤1/2*2p*√2p=√2p^2

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