已知a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2） =1,证明a^2+b^2=1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:03:17
已知a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2） =1,证明a^2+b^2=1
已知a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2） =1,证明a^2+b^2=1
已知a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2） =1,证明a^2+b^2=1
由根号（1-b^2 ）和根号（1-a^2）知,a和b的绝对值都小于1;
则设a=cosθ;b=cosη;
则:a根号（1-b^2 ）+b根号（1-a^2）
=cosθ·sinη + sinθ·cosη
=sin(θ+η)
即sin(θ+η)=1;
则θ+η=90°;
则b=cosη=cos(90°-θ)=sinθ;
则
a^2+b^2= sin^2 θ + cos^2 θ
=1.
我的方法写起来有点烦，但我觉得“巧”；能否再简单点？望高手指教！
由已知式子隐含的条件：1-b²≥0,1-a²≥0，可得－1≤b≤1,－1≤a≤1
所以可设a＝sinα，b＝sinβ（不妨限定0°≤α≤360°，0°≤β≤360°）
于是已知式子变为sinα√（1-sin²β）＋sinβ√（1-sin²α）＝1－－－－①
①式...
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我的方法写起来有点烦，但我觉得“巧”；能否再简单点？望高手指教！
由已知式子隐含的条件：1-b²≥0,1-a²≥0，可得－1≤b≤1,－1≤a≤1
所以可设a＝sinα，b＝sinβ（不妨限定0°≤α≤360°，0°≤β≤360°）
于是已知式子变为sinα√（1-sin²β）＋sinβ√（1-sin²α）＝1－－－－①
①式左边＝sinα√cos²β＋sinβ√cos²α
＝sinα|cosβ|＋sinβ|cosα|
所以sinα|cosβ|＋sinβ|cosα|＝1-－－－－－－－－②
（i）当cosα≥0且cosβ≥0时
sinα|cosβ|＋sinβ|cosα|＝sinαcosβ＋sinβcosα＝sin（α＋β）
所以sin（α＋β）＝1所以α＋β＝90°，β＝90°－α
所以a²＋b²＝sin²α＋sin²β＝sin²α＋sin²（90°－α）＝sin²α＋cos²α＝1
（ii）当cosβ≥0,cosα＜0时
sinα|cosβ|＋sinβ|cosα|＝sinαcosβ－sinβcosα＝sin（α－β）
所以sin（α－β）＝1,α－β＝90°即α＝90°＋β
所以a²＋b²＝sin²α＋sin²β＝sin²（90°＋β）＋sin²β＝cos²β＋sin²β＝1
（iii）类似地，可证明当cosβ＜0,cosα≥0;或cosβ＜0,cosα＜0时α²＋β²＝1都成立
综合（i）（ii）（iii）可得原题结论成立。
说明：我觉得由√cos²α直接得到cosα而不加绝对值号是不严密的。
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