An+1=1/(1+1/An) 当A1=1时,A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010=

An+1=1/(1+1/An) 当A1=1时,A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010=
An+1=1/(1+1/An) 当A1=1时,A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010=

An+1=1/(1+1/An) 当A1=1时,A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010=
A(n+1)=1/(1+1/An)
A(n+1)=An/(An+1)
A(n+1)An+A(n+1)=An;
A(n+1)An=An-A(n+1);
A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010
=A1-A2+A2-A3+A3-A4+...+A2009-A2010;
=A1-A2010;
=1-A2010;
A(n+1)An=An-A(n+1);
1=1/A(n+1)-1/An;
Bn=1/An;是公差为1的等差数列；
所以Bn=B1+(n-1)*1
1/An=1/A1+(n-1)=n;
An=1/n;
A1A2+A2A3+A3A4+.+A2009A2010=1-A2010=1-1/2010=2009/2010

An+1=1/(1+1/An)，可得AnAn+1=An-An+1，
A1A2=A1-A2，A2A3=A2-A3，A2009A2010=A2009-A2010，
所以A1A2+A2A3+A3A4+....+A2009A2010=A1-A2010；
由An+1=1/(1+1/An)，还可以得到1/An+1-1/An=1，也即数列{1/An}是一个公差为1的等差数列，则第N项通项...

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An+1=1/(1+1/An)，可得AnAn+1=An-An+1，
A1A2=A1-A2，A2A3=A2-A3，A2009A2010=A2009-A2010，
所以A1A2+A2A3+A3A4+....+A2009A2010=A1-A2010；
由An+1=1/(1+1/An)，还可以得到1/An+1-1/An=1，也即数列{1/An}是一个公差为1的等差数列，则第N项通项公式为1/An=1/A1+(n-1)d=n，所以An=1/n,
那原式=A1-A2010=1-1/2010=2009/2010

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