已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1－an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1－an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1－an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1－an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论
a1=2+1-a1
所以a1=3/2
a2+3/2=4+1-a2
所以a2=7/4
a3+7/4+3/2=6+1-a3
所以a3=15/8
推测an=2-1/2^n
验证,Sn=2n-（1/2+……+1/2^n）=2n-（1-1/2^n)=2n-1+1/2^n=2n-1+2-an=2n+1-an

取n=n+1做差可知a（n+1）=2+an

先代入求a1 a2 a3
证明的话 作差就行了

1）a1=S1=3-a1 ，所以 a1=3/2 ，
因为 S2=a1+a2=5-a2 ，所以 a2=7/4 ，
因为 S3=a1+a2+a3=7-a3 ，所以 a3=15/8 。
2） 推测：an=2-(1/2)^n 。
证明：由 Sn=2n+1-an ，
S(n-1)=2n-1-a(n-1) ，
两式相减，得 an=Sn-S(n-1)=2-an+a...

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1）a1=S1=3-a1 ，所以 a1=3/2 ，
因为 S2=a1+a2=5-a2 ，所以 a2=7/4 ，
因为 S3=a1+a2+a3=7-a3 ，所以 a3=15/8 。
2） 推测：an=2-(1/2)^n 。
证明：由 Sn=2n+1-an ，
S(n-1)=2n-1-a(n-1) ，
两式相减，得 an=Sn-S(n-1)=2-an+a(n-1) ，
因此 2an=2+a(n-1) ，
两边同除以2得 an=1/2*a(n-1)+1 ，
两边同时减 2 得 an-2=1/2*a(n-1)-1=1/2*[a(n-1)-2] ，
所以 ｛an-2｝是以 -1/2 为首项，1/2 为公比的等比数列，
故 an-2=(-1/2)*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n ，
所以 an=2-(1/2)^n 。

收起

1、
a1=3/2
a2=2=7/4
a3=15/8
2、猜测：an=[2^(n＋1)－1]/(2^n)
证明：
①当n=1时，验证，满足；
②假设当n=k时，ak=[2^(k＋1)－1]/(2^k)
则当n=k＋1时，
S(k＋1)=2(k＋1)＋1－a(k＋1)
Sk=2k＋1－ak
两式相减，得：

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1、
a1=3/2
a2=2=7/4
a3=15/8
2、猜测：an=[2^(n＋1)－1]/(2^n)
证明：
①当n=1时，验证，满足；
②假设当n=k时，ak=[2^(k＋1)－1]/(2^k)
则当n=k＋1时，
S(k＋1)=2(k＋1)＋1－a(k＋1)
Sk=2k＋1－ak
两式相减，得：
a(k＋1)=S(k＋1)－Sk=2－a(k＋1)＋ak
a(k＋1)=1＋(1/2)ak
=1＋(1/2)×[2^(k＋1)－1]/(2^k)
=[2^(k＋2)－1]/[2^(k＋1)]
即当n=k＋1时，也成立。
所以，an=[2^(n＋1)－1]/(2^n)

收起

S1=2+1-a1
2a1=3
a1=3/2
S2=4+1-a2=a1+a2
a2=7/4
S3=6+1-a3=3/2+7/4+a3
a3=15/8
an=(2^(n+1)-1)/2^n=2-(1/2^n)=2-(1/2)^n
用反证法证明
假设an=2-（1/2）^n
则
Sn=2n-1/2-1/4-1/8-...

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S1=2+1-a1
2a1=3
a1=3/2
S2=4+1-a2=a1+a2
a2=7/4
S3=6+1-a3=3/2+7/4+a3
a3=15/8
an=(2^(n+1)-1)/2^n=2-(1/2^n)=2-(1/2)^n
用反证法证明
假设an=2-（1/2）^n
则
Sn=2n-1/2-1/4-1/8-,,,,,,,-(1/2)^n
=2n-(1/2+1/4+1/8+,,,,,,,+(1/2)^n)
=2n-(1/2x(1-(1/2)^n)/(1-1/2))
=2n-(1-(1/2)^n)
=2n+(1/2)^n-1
=2n+1-an
成立
所以an=2-（1/2）^n

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