数列求和 Sn=x+2x^2+3x^3+…+nx^n(x≠-1)

数列求和 Sn=x+2x^2+3x^3+…+nx^n(x≠-1)
数列求和 Sn=x+2x^2+3x^3+…+nx^n(x≠-1)

数列求和 Sn=x+2x^2+3x^3+…+nx^n(x≠-1)
用错位相消.
Sn=x+2x^2+3x^3+...+nx^n
Sn/x=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
Sn/x-Sn=1+x+x^2+...+x^(n-1)-nx^n
=[x^(n-1)-1]/(x-1)-nx^n
Sn={[x^(n-1)-1]/(x-1)-nx^n}x/(1-x)

X*Sn=x^2+2x^3+3x^4+…+nx^（n+1）
（1-X）Sn=x+x^2+x^3+…+x^n-nx^（n+1）(x≠-1)
Tn=x+x^2+x^3+…+x^n
X*Tn=x^2+x^3+x^4+…+x^（n+1）
Tn=[x-x^（n+1）] / （1-X）
可得Sn

X*Sn=x^2+2x^3+3x^4+…+nx^（n+1）
(1-x)Sn=x+x^2+x^3+……+x^n-nx^(n+1)=x(1-x^n)/(1-x)-nx^(n+1)
Sn=x(1-x^n)/(1-x)^2-nx^(1+n)/(1-x)