求x²y"+xy'=1通解

求x²y"+xy'=1通解
求x²y"+xy'=1通解

求x²y"+xy'=1通解
答：
x^2y''+xy'=1
xy''+y'=1/x
(xy')'=1/x
积分得：
xy'=lnx+C
y'=(lnx+C) /x
积分得：
y=∫ (lnx+C) /x dx
=∫(lnx+C) d(lnx)
=(1/2)*(lnx)^2+C*lnx+K
所以：
y=(1/2)*(ln|x|)^2+C*ln|x|+K,C和K为任意实数

根据欧拉方程的解法，
令x=e^t
然后原方程变化成
[D(D-1)+D]y=1
[D^2-D+D]y=D^2y=1
所以y''(t)=1
y(t)=t^2/2+C1t+C2
把t=lnx带入得到
y(x)=(lnx)^2/2+C1lnx+C2
上面的Dy代表y'(t)
D^2y=y''(t)