证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:53:36
证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
证明:
对所有正实数a、b、c,
证明完毕.
因为a,b,c为正数,所以a^3+b^3+abc>=abc,b^3+c^3+abc>=abc,a^3+c^3+abc>=abc
即1/(a^3+b^3+abc)≤1/(a^2b+b^2a+abc)=1/ab(a+b+c)
同理,1/(b^3+c^3+abc)≤1/bc(a+b+c)
1/(a^3+c^3+abc)≤1/ac(a+b+c)
三式子相加,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)
≤1/ab(a+b+c)+1/bc(a+b+c)+1/ac(a+b+c)=1/abc
a、b、c>0
——》(a+b)(a-b)^2>=0
——》a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
——》a^3+b^3+abc>=a^2b+ab^2+abc=ab(a+b+c)
——》1/(a^3+b^3+abc)<=1/[ab(a+b+c)],
同样:1/(b^3+c^3+abc)<=1/[bc(a+b+c)],
1/(c^3+a^3+abc)...
全部展开
a、b、c>0
——》(a+b)(a-b)^2>=0
——》a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
——》a^3+b^3+abc>=a^2b+ab^2+abc=ab(a+b+c)
——》1/(a^3+b^3+abc)<=1/[ab(a+b+c)],
同样:1/(b^3+c^3+abc)<=1/[bc(a+b+c)],
1/(c^3+a^3+abc)<=1/[ca(a+b+c)],
——》1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
<=1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ca(a+b+c)]
=(a+b+c)/[abc(a+b+c)]
=1/(abc),
命题得证。
收起