已知sinα+cosβ=1,求sin²α+cosβ的取值范围

已知sinα+cosβ=1,求sin²α+cosβ的取值范围
已知sinα+cosβ=1,求sin²α+cosβ的取值范围

已知sinα+cosβ=1,求sin²α+cosβ的取值范围
答案为
[3/4,1]
sinα+cosβ=1 sina=1-cosβ
sin²α+cosβ=(1-cosβ)²+cosβ=cosβ²-cosβ+1
设cosβ=t t∈[-1,1]
因为 sina=1-cosβ
=1-t ∈[-1,1]
所以t ∈[0,1]
所以
sin²α+cosβ=
t²-t+1=(t-1/2)²+3/4 ∈[3/4,1]

sinα+cosβ=1 sina=1-cosβ
sin²α+cosβ=(1-cosβ)²+cosβ=cosβ²-cosβ+1
设cosβ=t t∈[0.1]
t²-t+1=(t-1/2)²+3/4
[3/4,3]

sin²α+cosβ=(1-cosβ)²+cosβ=cosβ²-cosβ+1
cosβ∈[0,1]

则有sin²α+cosβ=
t²-t+1=(t-1/2)²+3/4 ∈[3/4,1]