等边三角形ABC M/N分别为AB AC上一点 BD=DC D在三角形ABC外侧 角MDN为60度 角BDC为120度 求证三角形AMN的周长=2BC

等边三角形ABC M/N分别为AB AC上一点 BD=DC D在三角形ABC外侧 角MDN为60度 角BDC为120度 求证三角形AMN的周长=2BC
等边三角形ABC M/N分别为AB AC上一点 BD=DC D在三角形ABC外侧 角MDN为60度 角BDC为120度 求证三角形AMN的周长=2BC

等边三角形ABC M/N分别为AB AC上一点 BD=DC D在三角形ABC外侧 角MDN为60度 角BDC为120度 求证三角形AMN的周长=2BC
证明：
因为△BDC是等腰三角形,且∠BDC＝120°,
所以∠BCD＝∠DBC＝30°
因为∠MDN＝60°
所以∠BDM＋∠CDN＝60°
因为△ABC是等边三角形,
所以∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
所以∠DBA＝∠DCA＝90°
将△BDM绕点D顺时针旋转120°,使DB与DC重合,得△DCE
则有BM＝CE,∠CDE＝∠BDM,∠DCE＝∠DBA
因为∠DCE＝∠DBM＝∠DCA＝90°
所以N、C、E在同一直线上
因为∠NDE＝CDE＋∠CDN＝∠BDM＋∠CDN＝60°
所以在△DMN和△DNE中
有：DM＝DE,∠MDN＝∠NDE＝60°,DN＝DN
所以△DMN≌△DEN（SAS）
所以MN＝NE＝NC＋CE＝NC＋BM
即BM＋CN＝MN
所以△AMN的周长＝AM＋AN＋MN
＝AM＋AN＋BM＋CN
＝(AM＋BM)＋(AN＋CN)
＝AB＋AC
即△AMN的周长＝2BC