微分方程y''－2y'²tany＝0满足条件y(0)＝0,y'(0)＝1的解是什么

微分方程y''－2y'²tany＝0满足条件y(0)＝0,y'(0)＝1的解是什么
微分方程y''－2y'²tany＝0满足条件y(0)＝0,y'(0)＝1的解是什么

微分方程y''－2y'²tany＝0满足条件y(0)＝0,y'(0)＝1的解是什么
令y'=p,则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy,于是原方程为
pdp/dy=2p^2*tany,由于p不为0（y'(0)=1),因此得
dp/dy=2p*tany
dp/(2p)=tany*dy
d(lnp)=--2d(ln(cosy))
lnp=--2lncosy+C,代入已知条件
ln1=--2lncos0+C,C=0,故
dy/dx=p=1/cos^2y,
cos^2ydy=dx,
y/2+sin2y/4=x+D,已知y(0)=0代入得
D=0,于是解为
y/2+(sin2y)/4=x