sin^3A+cos^3A=1,求sinA+cosA?

sin^3A+cos^3A=1,求sinA+cosA?
sin^3A+cos^3A=1,求sinA+cosA?

sin^3A+cos^3A=1,求sinA+cosA?
sin^3A+cos^3A=1
(sinA+cosA)(sin^2A-sinAcosA+cos^2A)=1
(sinA+cosA)(1-sinAcosA)=1
两边平方得：
(sin^2A+2sinAcosA+cos^2A)*(1-sinAcosA)^2=1,
(1+2sinAcosA)*(1-sinAcosA)^2=1,
设m=sinAcosA,则(1+2m)*（1-m)^2=1,
2m^3-3m^2=0,m=0或m=3/2（不合题意,舍去）
所以sinAcosA=0,
2sinAcosA=0,
1+2sinAcosA=1
sin^2A+2sinAcosA+cos^2A=0
(sinA+cosA)^2=1
sinA+cosA=1或-1,

zxqsyr 回答很经典，其他人不必再多言，推荐为最佳

sin^3A+cos^3A=（sinA+cosA）（1-sinA*cosA）=（sinA+cosA）（1-（（sinA+cosA）^2-1）/2）
令（sinA+cosA）=X 即： X*（1-（X^2-1）/2）=1 解得X=1，-1，2 其中-1，2舍去

(1) 假设 sin A<0,
则 (cos A)^3 =1 -(sin A)^3 >1,
与 (cos A)^3<=1 矛盾.
所以 假设不成立.
所以 sin A>=0.
同理, cos A>=0.
(2...

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(1) 假设 sin A<0,
则 (cos A)^3 =1 -(sin A)^3 >1,
与 (cos A)^3<=1 矛盾.
所以 假设不成立.
所以 sin A>=0.
同理, cos A>=0.
(2) 假设 0 则 0 所以 (sin A)^3 <(sin A)^2,
(cos A)^3 <(cos A)^2,
所以 (sin A)^3 +(cos A)^3 <1,
与 (sin A)^3 +(cos A)^3 =1 矛盾.
所以 假设不成立.
所以 sin A =0 或 sin A=1,
综上, sin A =0, cos A =1,
或 sin A =1, cos A=0.
所以 sin A +cos A =1.
= = = = = = = = =
这题是由下面这道证明题改编的。
若 (sin A)^3 +(cos A)^3 =1 ,
求证：sin A=0, cos A =1 或sin A=1, cos A=0.
(用反证法.)
对于方程 (sin A)^n +(cos A)^n=1, n为正整数.
(1) 当 n=3,5,7, ... 时,
sin A=0, cos A =1 或sin A=1, cos A=0.
(2) 当 n=2,4,6, ... 时
|sin A|=1, |cos A|=0 或|sin A|=0, |cos A|=1.
(注意有绝对值).
这个结论可用反证法证明。

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