“平方和”等式宝塔 x+（x+1)²+...+(x+K)²=(x+k+1)²+...+(x+k+k)²求正整数根已知3²+4²=5² 【即 2²+（2+1）²=（2+2）²】亦有10²+11²+12²=13²+14²【即10²

“平方和”等式宝塔 x+（x+1)²+...+(x+K)²=(x+k+1)²+...+(x+k+k)²求正整数根已知3²+4²=5² 【即 2²+（2+1）²=（2+2）²】亦有10²+11²+12²=13²+14²【即10²
“平方和”等式宝塔 x+（x+1)²+...+(x+K)²=(x+k+1)²+...+(x+k+k)²求正整数根
已知3²+4²=5² 【即 2²+（2+1）²=（2+2）²】
亦有10²+11²+12²=13²+14²【即10²+（10+1）²+（10+2）²=（10+3）²+（10+4）²】
则给定一个正整数k,关于x的一元二次方程x+（x+1)²+...+(x+K)²=(x+k+1)²+...+(x+k+k)²
是否存在正整数根?若存在,请用k将这个方程的正整数根表示出来.


我解出该一元二次方程即为x²-4kx-4k²-2k=0,则△=32k²+8k,再往下就不会了
请问我解得对不对.若对,请完整该题目答案；若不对,请给出正确解法.谢谢

“平方和”等式宝塔 x+（x+1)²+...+(x+K)²=(x+k+1)²+...+(x+k+k)²求正整数根已知3²+4²=5² 【即 2²+（2+1）²=（2+2）²】亦有10²+11²+12²=13²+14²【即10²
同学 似乎你解的不太对
方程本身应该是 x^2 + (x+1)^2 + ...+ (x+k)^2 = (x+k+1)^2 + ...+ (x+k+k)^2
左边为 k+1 个平方项 右边为 k 项
将左边的后k项移到右边 有
x^2 = [(x+k+1)^2 - (x+1)^2] + ...+ [(x+k+k)^2 - (x+k)^2]
= k*(2x+k+2*1) + ...+ k*(2x+k+2*k)
= k*(2x*k+k*k+(1+k)*k)
= (2k^2)x+k^2(2k+1)
因此该一元二次方程应该等价于 x^2-(2k^2)x-k^2(2k+1)=0
其判别式 D=(2k^2)^2+4*k^2(2k+1)
=4k^4+4k^2(2k+1)
=4k^2*(k^2+2k+1)
=[2k^2(k+1)]^2
故由求根公式可得 x=[2k^2+2k^2(k+1)]/2 或 x=[2k^2-2k^2(k+1)]/2
由于要求正整数解 故取前者 有
x=[2k^2+2k^2(k+1)]/2=k^2+k^2(k+1)=k^2(k+2)
即为所求.
同学加油~!
祝好

如果实用的话，还是需要考虑的，如果不是。。。

不知道

呼，终于算完了，结果不错~来看看：
首先你的计算肯定出了问题，因为你这个一元二次方程把k=1代入是解不出3，4，5的（而且貌似你的提问里还写成了2,3,4……）。
我们知道小于等于自然数n的所有自然数的平方和有公式
f(n)=1/6n(n+1)(2n+1)
那么你的等式左边为
f(x+k)-f(x-1)
等式右边为
f(x+2k)-f(x+k...

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呼，终于算完了，结果不错~来看看：
首先你的计算肯定出了问题，因为你这个一元二次方程把k=1代入是解不出3，4，5的（而且貌似你的提问里还写成了2,3,4……）。
我们知道小于等于自然数n的所有自然数的平方和有公式
f(n)=1/6n(n+1)(2n+1)
那么你的等式左边为
f(x+k)-f(x-1)
等式右边为
f(x+2k)-f(x+k)
两式相等把f(n)的表达式代入并整理得（这步计算最烦）
x²-2k²x-2k³-k²=0
我们惊奇的发现这个一元二次方程居然有很整的解，因为其判别式为[2k(k+1)]²
所以这个方程的正整数解为
2k²+k
这就是答案。也就是说任给一个正整数k，都能取x=2k²+k使这个等式成立。
我们来稍微验证一下，比如k=1，则x=3；k=2，则x=10，与已知符合。结果真的不错啊~我都没有料到这个结果这么好……

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