整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=

整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=
整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=

整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=
x1x2=q/67为正整数,q=67k1,k1为正整数,
x1+x2=-p/67为正整数,p=-67k2,k2为正整数
p+q=67(k1-k2)=2010,k1-k2=30.
又因为p^2-4*67是完全平方数,即67^2*k2^2-4*67^2k1是完全平方数
k2^2-4k1是完全平方数
k2^2-4(30+k2)是完全平方数
k2^2-4k2-120是完全平方数
(k2-2)^2-124是完全平方数
令(k2-2)^2-124=k^2,k为非负整数
(k2-2-k)(k2-2+k)=124
(k2-2-k)(k2-2-k+2k)=124=1*124=2*62=4*31
因为k2-2-k和k2-2-k+2k是同奇同偶的
所以k2-2-k=2,k2-2-k+2k=62,解得k=30,k2=34.
p=-67*k2=-67*34=-2278.

由韦达定理得
x1+x2= -p/67
x1*x2=q/67
又x1,x2都为正整数，即x1，x2的最小值是1
所以p负数，且p,q都是67的倍数．
又p+q=2010
所以q>2010,p<-2*67= -134
又因为△＝p^2-4*67*q=p^2-4*67(2010-p)=p^2+4*67p-4*67*2010 >0
△＝(p...

全部展开

由韦达定理得
x1+x2= -p/67
x1*x2=q/67
又x1,x2都为正整数，即x1，x2的最小值是1
所以p负数，且p,q都是67的倍数．
又p+q=2010
所以q>2010,p<-2*67= -134
又因为△＝p^2-4*67*q=p^2-4*67(2010-p)=p^2+4*67p-4*67*2010 >0
△＝(p+2*67)^2-4*31*67^2 >0
p < -2*67(1+√31)= -2*67*6.58
所以p=-2*7*67-67n（n为自然数）

收起

带入：
67x^2+px+2010-p=0
有一次项系数p/67=-（两根之和）
常数项(2010-p)/67=两根之积
所以30=两根之积-两根之和
然后一个个带。

若两个根均为正整数，则p/67和q/67均为整数，p+q=2010化为a+b=30，且a<0，b=30-a
原方程化为x^2+ax+30-a=0
x^2+ax+(a/2)^2-(a^2/4)+(120-4a)/4=0
(x+a/2)^2-(a^2+4a-120)/4=0
当a=-34时
x^2-34x+64=0
(x-2)(x-32)=0
p=-34X67=-2278