已知抛物线方程y^2=4x.（2）若动圆M过A（2,0）,且圆心M在该抛物线上运动,E,F是圆M和y轴的交点,试探究|EF|是否可能为定值?若可能,求出成立条件,若无可能,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 06:24:49
已知抛物线方程y^2=4x.（2）若动圆M过A（2,0）,且圆心M在该抛物线上运动,E,F是圆M和y轴的交点,试探究|EF|是否可能为定值?若可能,求出成立条件,若无可能,请说明理由
已知抛物线方程y^2=4x.（2）若动圆M过A（2,0）,且圆心M在该抛物线上运动,E,F是圆M和y轴的交点,试探究|EF|是否可能为定值?若可能,求出成立条件,若无可能,请说明理由
已知抛物线方程y^2=4x.（2）若动圆M过A（2,0）,且圆心M在该抛物线上运动,E,F是圆M和y轴的交点,试探究|EF|是否可能为定值?若可能,求出成立条件,若无可能,请说明理由
因为圆心M在该抛物线上运动
所以圆心坐标是（y0^2/4,y0)
因为过点（2,0）
所以半径R^2=(y0^2/4-2)^2+(y0-0)^2
所以圆方程是
(x-y0^2/4)^2+(y-y0)^2=(y0^2/4-2)^2+(y0-0)^2
因为E,F是圆M和y轴的交点
则有
(0-y0^2/4)^2+(y-y0)^2=(y0^2/4-2)^2+(y0-0)^2
y0^4/16+y^2-2y0y+y0^2=y0^4/16-y0^2+4+y0^2
y^2-2y0y+y0^2=0
设E点坐标是(0,ye),F点坐标是(0,yf)
则|EF|=√(ye-yf)^2=√[(ye+yf)^2-4yeyf]
=√[(2y0)^2-4*y0^2]
=√[4y0^2-4y0^2]=0
所以是定值.
定值：4
设动圆的圆心M坐标为（x,y),则半径R²=（x-2)²+y²
且x与y也满足y²=4x,即R²=（x-2)²+y²=x²+4
圆心到Y轴的距离为x,所以在Y轴截得的弦长为：2√(R²-x²)=2√4=4
参考：
设圆心坐标（a，2√a） 半径为r...
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定值：4
设动圆的圆心M坐标为（x,y),则半径R²=（x-2)²+y²
且x与y也满足y²=4x,即R²=（x-2)²+y²=x²+4
圆心到Y轴的距离为x,所以在Y轴截得的弦长为：2√(R²-x²)=2√4=4
参考：
设圆心坐标（a，2√a） 半径为r则圆的方程为（x-a）^2+(y-2√a)^2=r^2将2，0 带入得r^2-a^2=4 而|EF|=2*√（r^2-a^2=4）=4为定值
r^2-a^2=4 和a>=0即为条件，其中√表示根号。
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设圆心为（a，b),半径为R，则圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=R²，由题意得，（2-a)²+b²=R²，b²=4a
令x=0得a²+（y-b)²=R²=（2-a)²+b²,故（y-b)²=4-4a+b²=4，所以y=b±2，故|EF|=4.（定值）
又R²≠0，故a≠2,b≠0.
设圆心坐标（a，2√a） 半径为r则圆的方程为（x-a）^2+(y-2√a)^2=r^2将2，0 带入得r^2-a^2=4 而|EF|=2*√（r^2-a^2=4）=4为定值
r^2-a^2=4 和a>=0即为条件，其中√表示根号。