求抛物线y=1/4x*x与在点(2,1)处的法线所围成图形的面积

求抛物线y=1/4x*x与在点(2,1)处的法线所围成图形的面积
求抛物线y=1/4x*x与在点(2,1)处的法线所围成图形的面积

求抛物线y=1/4x*x与在点(2,1)处的法线所围成图形的面积
y=x²/4
y'=x/2,当x=2时,y'=1
抛物线y=x²/4在点(2,1)处切线的斜率为1,则抛物线y=x²/4在点(2,1)处法线的斜率为-1
该法线方程为y=-x+3,代入y=x²/4,有-x+3=x²/4,得x=-6或x=2
法线y=-x+3与抛物线y=x²/4的两个交点为(-6,9)、(2,1)
设A(2,1)、B(-6,9)、B在x轴上的射影C(-6,0)、A在x轴上的射影D(-2,0)
OAD的面积为∫x²/4dx=x³/12|=3/4
OBC的面积为∫x²/4dx=x³/12|=18
ABCD的面积为(1+9)•(2+6)/2=40
OAB的面积为40-3/4-18=85/4
抛物线y=x²/4与在点(2,1)处的法线所围成图形的面积为85/4

y=(1/4)x^2
k'=y'=(1/2)x|x=2=1'切线的斜率
则法线斜率k=-1
法线方程y=-x+b
法线过（2,1）,有1=-2+b,b=3
法线方程y=-x+3
与抛物线方程联立得另一交点为交点(-6,9)
面积S=∫[(-x+3)-(x^2/4)]dx
积分上限2下限-6
S={-（1/2）X^2+3X-(1...

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y=(1/4)x^2
k'=y'=(1/2)x|x=2=1'切线的斜率
则法线斜率k=-1
法线方程y=-x+b
法线过（2,1）,有1=-2+b,b=3
法线方程y=-x+3
与抛物线方程联立得另一交点为交点(-6,9)
面积S=∫[(-x+3)-(x^2/4)]dx
积分上限2下限-6
S={-（1/2）X^2+3X-(1/12)x^3}<-6,2>
=64/3=21.3

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