如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小（2）设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 16:27:06
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小（2）设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小（2）设△A1DE的
重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小（2）设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
以A为原点,分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,
建立直角坐标系,
则A(0,0,0),E(1,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,√2)
向量DE=(1,-1,0),AD=(0,2,0),A1D=(0,2,-√2)
设平面A1DE的一个法向量为m=(x,y,z)
∴m●DE=0,m●A1D=0
∴{x-y=0
{2y-√2z=0
取y=1,x=1,z=√2
∴m=(1,1,√2)
又平面ADE的一个法向量为AA1=(0,0,√2)
∴cos=m●AA1/(|m||AA1|)=2/(2*√2)=√2/2
令二面角A1-DE-A的大小为θ,则θ为锐角
∴cosθ=√2/2,θ=45º
即二面角A1-DE-A的大小为45º
（2）
∵△A1DE的重心为G
∴xG=(0+0+1)=1/3
yG=(0+2+0)=2/3
zG=(0+0+√2)/3=√2/3
∴G(1/3,2/3,√2/3)
设M(0,b,0),b∈[0,2]
∴MG=(1/3,2/3-b,√2/3)
若MG⊥平面A1DE
则MG//m
即(1/3,2/3-b,√2/3)=λ(1,1,√2)
∴2/3-b=1/3
∴b=1/3
∴在棱AD上存在一点M（0,1/3,0),
即AG=1/6*AD,使MG⊥平面A1DE