在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题（1）连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是（平行四边形）.（2）对角线AC、BD满足条件（相互垂直）时,四
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 23:51:55
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题（1）连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是（平行四边形）.（2）对角线AC、BD满足条件（相互垂直）时,四
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题
（1）连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是（平行四边形）.
（2）对角线AC、BD满足条件（相互垂直）时,四边形EFGH是矩形.
（3）对角线AC、BD满足条件（相等）时,四边形EFGH是菱形.
（4）对角线AC、BD满足条件（垂直且相等）时,四边形EFGH是正方形.
⑤请选上述一个结论给予证明
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题（1）连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是（平行四边形）.（2）对角线AC、BD满足条件（相互垂直）时,四
（1）连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,
∴EF∥AC,EF=1/2 AC,FG∥BD,FG=1/2BD,GH∥AC,GH=1/2 AC,
EH∥BD,EH=1/2 BD．
∴EF∥HG,EF=GH,FG∥EH,FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）要使四边形EFGH是矩形,则需EF⊥FG,由（1）得,只需AC⊥BD；
（3）要使四边形EFGH是菱形,则需EF=FG,由（1）得,只需AC=BD；
添加的条件应为：AC=BD．
证明：∵E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=1/2
AC；同理EF∥AC且EF=1/2 AC,同理可得EH=1/2 BD,
则HG∥EF且HG=EF,
∴四边形EFGH为平行四边形,又AC=BD,所以EF=EH,
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：AC=BD
（4）要使四边形EFGH是正方形,综合（2）和（3）,则需AC⊥BD且AC=BD．
（1）中位线定理
EH平行且等于1/2BD
FG也平行且等于1/2BD
对边平行且相等，所以是平行四边形
证明：因为E ,F,,G,,H分别是AB ,BC, CD ,DA边上的中点
所以EF ,FG ,HG ,EH分别是三角形ABC ,三角形BCD，三角形ADC，三角形ABD的中位线
所以EF=1/2AC
FG=1/2BD
GH=1/2AC
EH=1/2BD
因为AC=BD
所以EF=FG=GH=EH
所以四边形EFGH是菱形