求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（n²+1）＜2/3+2ln（n!）（n≥2,n∈N＋）,其中n!=n（n-1）（n-2）…4*3*2*1

求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（n²+1）＜2/3+2ln（n!）（n≥2,n∈N＋）,其中n!=n（n-1）（n-2）…4*3*2*1
求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（n²+1）＜2/3+2ln（n!）（n≥2,n∈N＋）,其中n!=n（n-1）（n-2）…4*3*2*1

求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（n²+1）＜2/3+2ln（n!）（n≥2,n∈N＋）,其中n!=n（n-1）（n-2）…4*3*2*1
证明:
ln(2^2+1)+ln(3^2+1)+---+ln(n^2+1)

FK

当n=2时，ln（2²+1）=ln5<2/3+2ln（2！）=2/3+2ln2=2/3+ln4
假设当n=k时成立，ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（k²+1）＜2/3+2ln（k！）
则当n=k+1时
ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（k²+1）+ln[（k+1）²+1...

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当n=2时，ln（2²+1）=ln5<2/3+2ln（2！）=2/3+2ln2=2/3+ln4
假设当n=k时成立，ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（k²+1）＜2/3+2ln（k！）
则当n=k+1时
ln（2²+1）+ln（3²+1）+…+ln（k²+1）+ln[（k+1）²+1）]<2/3+2ln（k！）+ln[（k+1）²+1）
<2/3+2ln（k！）+2ln（k+1）=2/3+2ln(（k+1)！），成立
原式得证

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您好，这道题可先证ln(2²+1)+ln(3²+1)+…+ln(n²+1) - 2ln(n!) < 2/3
即需证明 ln(2²+1)+ln(3²+1)+…+ln(n²+1) - 2(ln1+ln2+ln3+...+ln n) < 2/3, 注意ln1=0.
即需证明 ln(2²+1)+ln(3²+1...

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您好，这道题可先证ln(2²+1)+ln(3²+1)+…+ln(n²+1) - 2ln(n!) < 2/3
即需证明 ln(2²+1)+ln(3²+1)+…+ln(n²+1) - 2(ln1+ln2+ln3+...+ln n) < 2/3, 注意ln1=0.
即需证明 ln(2²+1)+ln(3²+1)+…+ln(n²+1) -ln2²-ln3²-...-ln n²< 2/3
即需证明 ln((2²+1)/2²)+ln((3²+1)/3²)+…+ln((n²+1)/n²)<2/3
即需证明 ln(1+1/2²)+ln(1+1/3²)+…+ln(1+1/n²)< 2/3
由于这里打出乘方不便，下面我就用a^b表示a的b次方。
这个不等式的左边当n趋于无穷时的极限等于 ln( (e^π-e^-π) / 4π )，大约是0.61吧，更精确的值您可以按计算器得到。这个式子的值随n增大而增大。所以说，对于大于1的正整数n，这个式子的最小上界就是这么多，换言之这个式子的值一定小于这个极限值。只要证明这一点，就能证明它小于2/3了。
这个极限值的证明，用到了正弦函数的无穷乘积形式，即
sin πx=πx(1-x^2/1^2)(1-x^2/2^2)(1-x^2/3^2)(1-x^2/4^2)……
将x=i（虚数单位）代入上式，得
sin πi=πi(1+1/1^2)(1+1/2^2)(1+1/3^2)(1+1/4^2)……
(e^(i*πi)-e^(-i*πi))/2i = 2πi(1+1/2^2)(1+1/3^2)(1+1/4^2)……
整理得(1+1/2^2)(1+1/3^2)(1+1/4^2)……=(e^π-e^-π) / 4π
ln[(1+1/2^2)(1+1/3^2)(1+1/4^2)……]=ln( (e^π-e^-π) / 4π )
ln(1+1/2^2)+ln(1+1/3^2)+ln(1+1/4^2)+……=ln( (e^π-e^-π) / 4π )
等式左边为无穷和。所以对于任意大于1的正整数n，有
ln(1+1/2²)+ln(1+1/3²)+…+ln(1+1/n²)< ln( (e^π-e^-π) / 4π )≈0.61<2/3
进而，可以证明原题的不等式。
希望能帮到您。

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