在△ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6,BC=5,CA=4,求GI：BC的值

在△ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6,BC=5,CA=4,求GI：BC的值
在△ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6,BC=5,CA=4,求GI：BC的值

在△ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6,BC=5,CA=4,求GI：BC的值
方法一
以平面上任意一点为原点 表示向量“原点到M” 而a、b、c分别为BC、CA、AB线段长
于是由重心、内心定义知G~=(A~+B~+C~)/3 =(aA~+bB~+cC~)/(a+b+c) 这个你自己推
于是此题里 =(A~+B~+C~)/3 =(5A~+4B~+6C~)/15
于是 向量GI=I~-G~=(C~-B~)/15 =向量BC/15
所以 GI跟BC品行 且
GI长是BC的十五分之一
方法二
已告知BC了,就是求GI.
根据三角形重心性质:
3GI^2=AI^2+BI^2+CI^2-(AG^2+BG^2+CG^2)
∵AB=c=6,CA=b=5,BC=a=4.
∴2s=a+b+c=15.
又 AI^2=bc(s-a)/s.AG^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9
∴AI^2+BI^2+CI^2=[(a+b+c)(bc+ca+ab)-6abc]/(a+b+c)=26
AG^2+BG^2+CG^2=(a^2+b^2+c^2)/3=77/3
∴3GI^2=26-77/3=1/3
GI=1/3.
GI/BC=1/15.