椭圆左右焦点分别为（-c,0）（c,0）,若椭圆上存在一点P使a*RF1=c*PF2,则该椭圆离心率取值范围是?

椭圆左右焦点分别为（-c,0）（c,0）,若椭圆上存在一点P使a*RF1=c*PF2,则该椭圆离心率取值范围是?
椭圆左右焦点分别为（-c,0）（c,0）,若椭圆上存在一点P使a*RF1=c*PF2,则该椭圆离心率取值范围是?

椭圆左右焦点分别为（-c,0）（c,0）,若椭圆上存在一点P使a*RF1=c*PF2,则该椭圆离心率取值范围是?
aPF1=cPF2
则：PF1=(c/a)PF2=ePF2
又：PF1+PF2=2a
即：ePF2+PF2=2a
得：PF2=2a/(e+1)
知识：在椭圆中,焦半径PF的范围是：[a-c,a+c]
所以,a-c≦2a/(e+1)≦a+c
同除a,1-e≦2/(e+1)≦1+e
解得：e≧√2-1
又椭圆中,0

a*PF1=c*PF2 ①
根据椭圆定义：PF1+PF2=2a
代入①
∴PF1=2a-PF2
∴a(2a-PF2)=c*PF2
∴(2a-PF2)/PF2=c/a
∴2a/PF2-1=e
∴2a/PF2=e+1
∴PF2=2a/(e+1)
∵PF2∈[a-c,a+c]
∴a-c≤2a/(e+1)≤a+c
∴1...

全部展开

a*PF1=c*PF2 ①
根据椭圆定义：PF1+PF2=2a
代入①
∴PF1=2a-PF2
∴a(2a-PF2)=c*PF2
∴(2a-PF2)/PF2=c/a
∴2a/PF2-1=e
∴2a/PF2=e+1
∴PF2=2a/(e+1)
∵PF2∈[a-c,a+c]
∴a-c≤2a/(e+1)≤a+c
∴1-e≤2/(e+1)≤1+e
∴1-e²≤2 且 (1+e)²≥2
∴ e≥√2-1
∵0∴√2-1≤e<1
辛苦http://58.130.5.100//

收起