如图,已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为A,EBD中点（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系（2）若△CDE绕C旋转任意角度,其他条件不变,则（1）中的结论是否仍成立?试证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 23:38:13
如图,已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为A,EBD中点（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系（2）若△CDE绕C旋转任意角度,其他条件不变,则（1）中的结论是否仍成立?试证明
如图,已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为A,EBD中点
（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系
（2）若△CDE绕C旋转任意角度,其他条件不变,则（1）中的结论是否仍成立?试证明
如图,已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为A,EBD中点（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系（2）若△CDE绕C旋转任意角度,其他条件不变,则（1）中的结论是否仍成立?试证明
（1）CM=CN,MC⊥CN,
理由是：∵∠ACE=∠BCD=90°,
∴在△ACE和△BCD中
AC＝BC
∠ACE＝∠BCD
CE＝CD
∴△ACE≌△BCD,
∴AE=BD,∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC,
∵∠ACE=∠BCD=90°,M为AE中点,N为BD中点,
∴CM=AM=ME=
1
2
AE,CN=DN=BN=
1
2
BD,
∴CM=CN,∠MAC=∠MCA,∠NDC=∠NCD,
∵∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC,
∴∠MCA+∠NCD=90°,
∴∠MCN=180°-90°=90°,
即MC⊥CN．
（2）成立,
证明：∵∠ACE=∠BCD=90°,∠ECB=∠ECB,
∴∠ECA=∠DCB,
∴在△ACE和△BCD中
AC＝BC
∠ACE＝∠BCD
CE＝CD
∴△ACE≌△BCD,
∴AE=BD,∠AEC=∠BDC,
∵M、N分别为AE、BD中点,
∴EM=DN,
在△MEC和△NDC中
ME＝DN
∠MEC＝∠NDC
EC＝DC
∴△MEC≌△NDC,
∴CM=CN,∠ECM=∠NCD,
∴∠MCN=∠ECM+∠ECN=∠NCD+∠ECN=∠ECD=90°,
∴CM⊥CN．