有关导数的证明解答题设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值

有关导数的证明解答题设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值
有关导数的证明解答题
设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值

有关导数的证明解答题设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值
∵f（x）＝ax－b/x,∴f′（x）＝a＋b/x^2,∴过点（2,f（2））的切线的斜率＝a＋b/4,
∴a＋b/4＝7/4,∴a＝7/4－b/4.······①
∵曲线f（x）＝ax－b/x上的点（2,f（2））在直线7x－4y－12＝0上,
∴14－4（2a－b/2）－12＝0,∴2－8a＋2b＝0,∴b＝4a－1.······②
将②代入到①中,得：a＝7/4－（4a－1）/4,∴4a＝7－4a＋1,∴a＝1,∴b＝4×1－1＝3.
∴f（x）＝x－3/x,∴f（x）＝1＋3/x^2.
令（m,f（m））为f（x）＝x－3/x上的任意一点,则有：f（m）＝m－3/m,f′（m）＝1＋3/m^2.
∴过点（m,f（m））的切线的斜率＝1＋3/m^2.
∴过点（m,f（m））的切线方程为：y－（m－3/m）＝（1＋3/m^2）（x－m）.
令y－（m－3/m）＝（1＋3/m^2）（x－m）中的x＝0,得：y＝m－3/m－m－3/m＝－6/m.
∴过点（m,f（m））的切线与x＝0的交点为A（0,－6/m）.
令y－（m－3/m）＝（1＋3/m^2）（x－m）中的y＝x,得：
y－m＋3/m＝（1＋3/m^2）y－m－3/m,∴（3/m^2）y＝6/m,∴y＝2m,∴x＝y＝2m.
∴过点（m,f（m））的切线与y＝x的交点为B（2m,2m）.
在△OAB中,显然有：｜OA｜＝｜6/m｜,B到OA的距离＝｜2m｜.
∴S(△OAB)＝（1/2）｜6/m｜｜2m｜＝6.
∴曲线y＝f（x）上任一点与直线x＝0、y＝x所围成的三角形面积为定值,此定值是6.