求证 a²+b²>=ab+a+b-1

求证 a²+b²>=ab+a+b-1
求证 a²+b²>=ab+a+b-1

求证 a²+b²>=ab+a+b-1
a²+b²-(ab+a+b-1)
=a²+b²-ab-a-b+1
=(a²/2-ab+b²/2)+(a²/2-a+1/2)+(b²/2-b+1/2)
=(a/√2-b/√2)²+(a/√2-1/√2)²+(b/√2-1/√2)²≥0

证明：左边-右边=(a²+b²)-(ab+a+b-1)
=[2(a²+b²)-2(ab+a+b-1)]/2
=[(a²-2ab+b²)+(a²-2a+1)+(b²-2b+1)]/2
...

全部展开

证明：左边-右边=(a²+b²)-(ab+a+b-1)
=[2(a²+b²)-2(ab+a+b-1)]/2
=[(a²-2ab+b²)+(a²-2a+1)+(b²-2b+1)]/2
=[(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²]/2
因为：(a-b)²≥0， (a-1)²≥0，(b-1)²≥0
所以：左边-右边≥0
所以： a²+b²>=ab+a+b-1

收起

2
5+6
62
6565
5665