高中直线与抛物线习题顶点在原点,焦点在X轴正半轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的弦长为√15,则抛物线方程是?过程,谢谢.

高中直线与抛物线习题顶点在原点,焦点在X轴正半轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的弦长为√15,则抛物线方程是?过程,谢谢.
高中直线与抛物线习题
顶点在原点,焦点在X轴正半轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的弦长为√15,则抛物线方程是?
过程,谢谢.

高中直线与抛物线习题顶点在原点,焦点在X轴正半轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的弦长为√15,则抛物线方程是?过程,谢谢.
设,抛物线方程为:Y^2=2PX.
令,直线Y=2x+1,交抛物线于A,B两点,则点A坐标为(t1^2/2p,t1),点B坐标为(t2^2/2p,t2),
∵ Y=2x+1,Y^2=2PX,
∴y^2-py+p=0,
y1+y2=t1+t2=p,
y1*y2=t1*t2=p,
而,(Y2-Y1)^2=(t2-t1)^2=(t1+t2)^2-4t1*t2=p^2-4p,
k=(y2-y1)/(x2-x1)=2,
(x2-x1)^2=(y2-y1)^2/k^2=(p^2-4p)/4.
15=(x2-x1)^2+(Y2-Y1)^2=(p^2-4p)+(p^2-4p)/4.
p^2-4p-12=0,
p1=6,p2=-2(不合,舍去).
∴y^2=2*6x=12x.
则抛物线方程是y^2=12x.

设抛物线的解析式为y^2=2px
将抛物线与直线方程联立两次，得到两个不同的方程
关于x的: 4x^2+2(2-p)x+1=0
关于y的：y^2-py+p=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
根据两点间距离公式得到
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=15
利用伟达定理变形得到
(x1+x2)^2-4x1x2+(y...

全部展开

设抛物线的解析式为y^2=2px
将抛物线与直线方程联立两次，得到两个不同的方程
关于x的: 4x^2+2(2-p)x+1=0
关于y的：y^2-py+p=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
根据两点间距离公式得到
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=15
利用伟达定理变形得到
(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2=15
代入得到
p^2-4p-12=0
解得p=6或p=-2
因为焦点在正半轴上，所以焦点参数p为正，所以p=6
所以抛物线方程为 y^2=12x

收起