证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数

证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数
证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数

证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数
首先分别将三个式子提取公因式,然后作平方差公式,化简为：
ab(a+b)(a-b)
ac(a+c)(a-c)
bc(b+c)(b-c)
要证明是10的倍数,只需要证明是2和5的倍数即可.
对于ab(a+b)(a-b),讨论a和b的奇偶性.
a,b只要有一个偶数,则乘积为偶数,ab若都为奇数,则(a+b)和(a-b)为偶数,乘积也是偶数.
所以它一定是2的倍数.
假设a,b,c均不为5的倍数.要使上述三个乘积不为5的倍数,首先应当保证a,b,c除以5的余数不同,否则(a-b),(a-c),(b-c)会成为5的倍数.【a,b,c余数相同的两个相减即可整除5】
那么a,b,c三者除以5的余数可以是1,2,3,4中的任意三个.
由于存在着2+3=5,1+4=5.所以在1,2,3,4中选出3个的话,必然存在两个之和能够被5整除.
也就是(a+b),(a+c),(b+c)必然存在至少一个能被5整除.
综上,原三个多项式至少有一个一定是10的倍数.
我写的可能不够书面,做题的话可以把语句写得更规范些.
不理解就追问,理解了请采纳!

证明：(1)首先证明若两个整数数a、b满足：a、b中有一个为5的倍数，或a+b为5的倍数，或a-b为5的倍数，则ab(a+b)(a-b)一定为10的倍数。
证：①a、b中有一个为5的倍数：不妨设a为5的倍数
若a同时也为2的倍数，那显然a就是10的倍数，则ab(a+b)(a-b)一定为10的倍数。
若a不为2的倍数，即a为奇数，则b与a+b不能同时为奇数，所以b(a+b)是...

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证明：(1)首先证明若两个整数数a、b满足：a、b中有一个为5的倍数，或a+b为5的倍数，或a-b为5的倍数，则ab(a+b)(a-b)一定为10的倍数。
证：①a、b中有一个为5的倍数：不妨设a为5的倍数
若a同时也为2的倍数，那显然a就是10的倍数，则ab(a+b)(a-b)一定为10的倍数。
若a不为2的倍数，即a为奇数，则b与a+b不能同时为奇数，所以b(a+b)是偶数，
所以ab(a+b)(a-b)为10的倍数。
②a+b为5的倍数：
若a+b同时也为2的倍数，那显然a+b就是10的倍数，则ab(a+b)(a-b)一定为10的倍数。
若a+b不为2的倍数，则a和b除以2的余数不能同时为0或1（或者说a、b模2不同余），那么a、b除以2的余数只能一个是0，一个是1，于是a、b之中有一个是2的倍数（余数是0的那个），
所以ab是2的倍数，因而ab(a+b)(a-b)为10的倍数。
③a-b为5的倍数：
若a-b同时也为2的倍数，那显然a-b就是10的倍数，则ab(a+b)(a-b)一定为10的倍数。
若a-b不为2的倍数，则a和b除以2的余数不能同时为0或1（或者说a、b模2不同余），那么a、b除以2的余数只能一个是0，一个是1，于是a、b之中有一个是2的倍数（余数是0的那个），所以
ab是2的倍数，因而ab(a+b)(a-b)为10的倍数。
(2)下面证明三个整数a、b、c一定会满足：
a、b、c中有一个为5的倍数，或两数之差为5的倍数，或两数之和为5的倍数。
证：设a=5n1+p1，b=5n2+p2，c=5n3+p3，(0≤p1,p2,p3≤4)
若a、b、c均不为5的倍数，且任意两数之差不为5的倍数，
则p1≠0，p2≠0，p3≠0，p1≠p2，p2≠p3，p3≠p1，
则p1、p2、p3必须为1、2、3、4中的某三个数，
把1、2、3、4这四个数分成两组，1、4一组，2、3一组，
则p1、p2、p3必为其中一组再加上另外一组中的一个数
由于1+4=2+3=5，所以p1+p2，p2+p3，p3+p1中，必有一个和为5
则a+b，b+c，c+a中，必有一个和为5的倍数。这就证明了结论。
结合(1)(2),又a³b-b³a=ab(a+b)(a-b),a³c-c³a=ac(a+c)(a-c),b³c-c³b=bc(b+c)(b-c),
所以a³b-b³a，a³c-c³a，b³c-c³b其中一定有一个是10的倍数。

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