1.已知α是第三象限角,化简2.求函数f(t)=在x∈[π/4,π/2)时的值域(其中a为常数).3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)在同一周期内,当x=π/4时y取最大值1,当x=7π/12时,y取最小值-1. (1)求函数的解析
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 12:39:04
1.已知α是第三象限角,化简2.求函数f(t)=在x∈[π/4,π/2)时的值域(其中a为常数).3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)在同一周期内,当x=π/4时y取最大值1,当x=7π/12时,y取最小值-1. (1)求函数的解析
1.已知α是第三象限角,化简
2.求函数f(t)=在x∈[π/4,π/2)时的值域(其中a为常数).
3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)在同一周期内,当x=π/4时y取最大值1,当x=7π/12时,y取最小值-1.
(1)求函数的解析式y=f(x).
(2)函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象?
(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的所有实数根之和.
我打不出“派”,用π代替.
明晚选最佳答案,至于我的追问,
1.已知α是第三象限角,化简2.求函数f(t)=在x∈[π/4,π/2)时的值域(其中a为常数).3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)在同一周期内,当x=π/4时y取最大值1,当x=7π/12时,y取最小值-1. (1)求函数的解析
1.原式=√[(1+sina)^2/(1-sin^2 a)]-√[(1-sina)^2/(1-sin^2 a)]
=|1+sina|/|cosa|-|1-sina|/|cosa|
=(1+sina)/(-cosa)-(1-sina)/(-cosa)
=2sina/(-cosa)
=-2tana
2.令u=tanx,则u>=1
f(u)=u^2+2au+5=(u+a)^2+5-a^2
对称轴为u=-a
若-a=-1,则f(u)单调增,最小值为f(1)=6+2a,此时f(x)值域为[6+2a,+∞)
若-a>=1,即a
把第一题 通分成( 1-sina)(1+sina)就可以了。
1.√(1+sina)/(1-sina)-√(1-sina)/(1+sina)
=√(1+sina)^2/(1-sina)(1+sina)-√(1-sina)^2/(1+sina)(1-sina)
=[1+sina-(1-sina)]/√(1-sin^2a)
=2sina/|cosa| (因为 a是第三象限的角,所以cosa<0)
=-2tana.
2.由...
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1.√(1+sina)/(1-sina)-√(1-sina)/(1+sina)
=√(1+sina)^2/(1-sina)(1+sina)-√(1-sina)^2/(1+sina)(1-sina)
=[1+sina-(1-sina)]/√(1-sin^2a)
=2sina/|cosa| (因为 a是第三象限的角,所以cosa<0)
=-2tana.
2.由题意知,tanx>=1
所以函数等价于g(x)=x^+2ax+5,x>=1
因为x=-a为上述函数的对称轴
所以,当-a<=1时,g(x)在x>=1上单调递增,所以此时值域为:g(x)>=6+2a
当-a>1时,g(x)在1
此时值域为:g(x)>=5-a^2
综上所述:
当a>=-1时,f(x)>=6+2a
当a<-1时,f(x)>=5-a^2
3.
考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性.
专题:计算题.
分析:(1)通过同一个周期内,当 x=π4时y取最大值1,当 x=7π12时,y取最小值-1.求出函数的周期,利用最值求出φ,即可求函数的解析式y=f(x).
(2)根据正弦函数的单调区间,即可得到函数的单调区间,再由已知中自变量的取值范围,进而得到答案.
(3)确定函数在[0,2π]内的周期的个数,利用f(x)=a(0<a<1)与函数的对称轴的关系,求出所有实数根之和.
(1)因为函数在同一个周期内,当x=π4时y取最大值1,当x=7π12时,y取最小值-1,
所以T=2πω=2×(7π12-π4),
所以ω=3.
因为 sin(34π+φ)=1,
所以 3π4+φ=2kπ+π2,
又因为 |φ|<π2,
所以可得 φ=-π4,
∴函数 f(x)=sin(3x-π4).
(2)令3x-π4= kπ+π2,所以x=kπ3+π4,
所以f(x)的对称轴为x=kπ3+π4(k∈Z);
令-π2+2kπ≤3x-π4≤π2+2kπ,k∈Z,
解得:-π12+2kπ3≤x≤π4+2kπ3,k∈Z
又因为x∈[0,π],
所以令k分别等于0,1,可得x∈[0,π4],[7π12,11π12],
所以函数在[0,π]上的单调递增区间为[0,π4],[7π12,11π12].
(3)∵f(x)=sin(3x-π4)的周期为 23π,
∴y=sin(3x-π4)在[0,2π]内恰有3个周期,
∴sin(3x-π4)=a(0<a<1)在[0,2π]内有6个实根且 x1+x2=π2
同理,x3+x4=116π,x5+x6=196π,
故所有实数之和为 π2+11π6+19π6=11π2.
点评:本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质,如函数的对称性,单调性,掌握基本函数的基本性质,是学好数学的关键.
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(1)万能公式代换,sina=2t/(1+t^2),t=tan(a/2),化简可得
原式=2t/(1-t^2)
(2)x∈[π/4,π/2)时,tanx∈[1,∞)所以代换t=tanx∈[1,∞),f(x)=g(t)=t^2+2at+5≥5-a^2
(3)ω(7π/12-π/4)=ωπ/3=π,所以ω=3,f(x)=sin(3x+φ),又|φ|<π/2,f(π/4)=1,所...
全部展开
(1)万能公式代换,sina=2t/(1+t^2),t=tan(a/2),化简可得
原式=2t/(1-t^2)
(2)x∈[π/4,π/2)时,tanx∈[1,∞)所以代换t=tanx∈[1,∞),f(x)=g(t)=t^2+2at+5≥5-a^2
(3)ω(7π/12-π/4)=ωπ/3=π,所以ω=3,f(x)=sin(3x+φ),又|φ|<π/2,f(π/4)=1,所以φ=-π/4
f(x)=sin(3x-π/4)
sinx的变换:f(x)=sin(3x-π/4)=sin[3(x-π/12)],先向右平移π/12单位,横坐标再收缩为原函数1/3
对称轴有x=π/4、x=11π/12、x=19π/12
根据对称性,则所有实根之和为2(π/4+11π/12+19π/12)=11π/2
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